Страница 87 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

297. В теоремах $4.1$, $8.2$, $9.1$, $10.3$, $11.2$ укажите условие и заключение теоремы.

Любая теорема состоит из двух частей: условия и заключения. Условие — это то, что дано. Заключение — это то, что нужно доказать или что следует из условия. Часто теорему можно сформулировать в виде «Если ... (условие), то ... (заключение)».

Теорема 4.1 (о смежных углах)

Формулировка: Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Для того чтобы выделить условие и заключение, переформулируем теорему:

Если два угла являются смежными (условие), то их сумма равна $180^\circ$ (заключение).

Ответ: Условие теоремы: два угла являются смежными. Заключение теоремы: сумма этих углов равна $180^\circ$.

Теорема 8.2 (первый признак равенства треугольников)

Формулировка: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Эта теорема уже сформулирована в виде «Если ..., то ...».

Условие: две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника.

Заключение: такие треугольники равны.

Ответ: Условие теоремы: даны два треугольника, у которых две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника. Заключение теоремы: эти треугольники равны.

Теорема 9.1 (свойство углов равнобедренного треугольника)

Формулировка: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Переформулируем теорему:

Если треугольник является равнобедренным (условие), то углы при его основании равны (заключение).

Ответ: Условие теоремы: данный треугольник является равнобедренным. Заключение теоремы: углы при основании этого треугольника равны.

Теорема 10.3 (признак параллельности прямых)

Формулировка: Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны.

Теорема уже представлена в нужной форме.

Условие: при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна $180^\circ$.

Заключение: прямые параллельны.

Ответ: Условие теоремы: две прямые пересечены секущей, и сумма образовавшихся односторонних углов равна $180^\circ$. Заключение теоремы: данные прямые параллельны.

Теорема 11.2 (свойство параллельных прямых)

Формулировка: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Теорема уже представлена в форме «Если ..., то ...».

Условие: две параллельные прямые пересечены секущей.

Заключение: соответственные углы равны.

Ответ: Условие теоремы: две параллельные прямые пересечены секущей. Заключение теоремы: образовавшиеся при этом соответственные углы равны.

297. Углы $ABD$ и $DBC$, а также углы $ABF$ и $FBC$ — смежные и лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $AC$, $\angle ABD = 80^\circ$, $\angle ABF = 150^\circ$, $BM$ — биссектриса угла $DBF$. Найдите угол $MBC$.

298. Из теорем 4.1, 8.2, 9.1, 10.3, 11.2 выберите:

1) теоремы-свойства;

2) теоремы-признаки.

Для того чтобы разделить теоремы на свойства и признаки, необходимо различать их назначение. Теоремы-свойства описывают характеристики уже известного геометрического объекта (отвечают на вопрос «Чем обладает?»). Теоремы-признаки устанавливают достаточные условия, по которым можно заключить, что объект относится к определенному классу (отвечают на вопрос «Как узнать?»).

1) теоремы-свойства;

К этой группе относятся теоремы, описывающие свойства заданных фигур или конфигураций.

• Теорема 4.1 (Сумма углов треугольника): Устанавливает, что сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$. Это фундаментальное свойство всех треугольников.
• Теорема 9.1 (Свойство диагоналей прямоугольника): Утверждает, что диагонали прямоугольника равны. Это свойство фигуры, которая уже определена как прямоугольник.
• Теорема 11.2 (О пересекающихся хордах): Описывает соотношение между отрезками пересекающихся хорд в окружности. Это свойство любых двух пересекающихся хорд.

Ответ: 4.1, 9.1, 11.2.

2) теоремы-признаки.

К этой группе относятся теоремы, которые служат для распознавания фигур или их элементов.

• Теорема 8.2 (Признак параллелограмма): Дает условие (диагонали четырехугольника делятся точкой пересечения пополам), при выполнении которого можно сделать вывод, что этот четырехугольник — параллелограмм.
• Теорема 10.3 (Признак средней линии треугольника): Устанавливает условия, достаточные для того, чтобы считать отрезок средней линией треугольника (например, если он соединяет середины двух сторон).

Ответ: 8.2, 10.3.

298. В треугольнике ABC медиана CM равна половине стороны AB, $ \angle A = 47^\circ $, $ \angle B = 43^\circ $. Чему равен угол $ \angle ACB $?

299. Сформулируйте утверждение, обратное данному:

1) если треугольник равносторонний, то его углы равны;

2) если два угла вертикальные, то их биссектрисы являются дополнительными лучами;

3) если угол между биссектрисами двух углов прямой, то эти углы смежные;

4) если сторона и противолежащий ей угол одного треугольника равны соответственно стороне и противолежащему ей углу другого треугольника, то эти треугольники равны.

Для какого из данных утверждений:

1) прямое и обратное утверждения истинны;

2) прямое утверждение истинно, а обратное — ложно;

3) прямое утверждение ложно, а обратное — истинно?

1) Обратное утверждение: если все углы треугольника равны, то этот треугольник равносторонний.
Прямое утверждение истинно, так как является свойством равностороннего треугольника. Обратное утверждение также истинно и является признаком равностороннего треугольника. Следовательно, для этого утверждения истинны и прямое, и обратное утверждения.
Ответ: 1) прямое и обратное утверждения истинны.

2) Обратное утверждение: если биссектрисы двух углов являются дополнительными лучами, то эти углы вертикальные.
Прямое утверждение истинно. Пусть даны вертикальные углы. Угол между их биссектрисами будет равен сумме половины одного из этих углов, смежного с ним угла и половины второго угла. Так как вертикальные углы равны, а сумма одного из них со смежным углом равна $180^{\circ}$, то и угол между биссектрисами будет равен $180^{\circ}$. Обратное утверждение ложно, так как можно построить контрпример с двумя не равными и не вертикальными углами, биссектрисы которых образуют развернутый угол (являются дополнительными лучами).
Ответ: 2) прямое утверждение истинно, а обратное – ложно.

3) Обратное утверждение: если два угла смежные, то угол между их биссектрисами прямой.
Прямое утверждение ложно. Можно взять два угла, которые не являются смежными (например, не имеют общей стороны или их сумма не равна $180^{\circ}$), но угол между их биссектрисами будет прямым. Обратное утверждение истинно. Сумма смежных углов $\alpha$ и $\beta$ равна $180^{\circ}$. Угол между их биссектрисами равен сумме половин этих углов: $\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{180^{\circ}}{2} = 90^{\circ}$.
Ответ: 3) прямое утверждение ложно, а обратное – истинно.

4) Обратное утверждение: если два треугольника равны, то сторона и противолежащий ей угол одного треугольника равны соответственно стороне и противолежащему ей углу другого треугольника.
Прямое утверждение ложно. Равенство стороны и противолежащего ей угла не является признаком равенства треугольников (этот случай известен как неоднозначный случай SSA). Можно построить два различных треугольника, которые удовлетворяют данному условию, но не являются равными. Обратное утверждение истинно, так как по определению у равных треугольников все соответственные элементы (стороны и углы) равны.
Ответ: 3) прямое утверждение ложно, а обратное – истинно.

299. Катя и Женя подошли к квадратному пруду, в середине которого находится квадратный остров (рис. 201). На берегу они нашли две доски чуть-чуть короче ширины пролива между берегом пруда и островом. Как им всё-таки попасть на остров, используя эти доски?

300. Сформулируйте утверждение, обратное данному.

1) если два треугольника не равны, то их периметры также не равны;

2) если градусная мера угла больше $90^\circ$, то он тупой.

Для какого из данных утверждений:

1) прямое и обратное утверждения истинны;

2) прямое утверждение истинно, а обратное — ложно;

3) прямое утверждение ложно, а обратное — истинно?

1) Исходное утверждение: «если два треугольника не равны, то их периметры также не равны».

Сначала сформулируем обратное утверждение, поменяв местами условие («два треугольника не равны») и заключение («их периметры также не равны»).

Обратное утверждение: «если периметры двух треугольников не равны, то эти треугольники не равны».

Теперь проанализируем истинность прямого и обратного утверждений.

• Прямое утверждение ложно. Можно привести контрпример: два треугольника могут быть не равны, но иметь одинаковый периметр. Например, прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 имеет периметр $P_1 = 3 + 4 + 5 = 12$. Равносторонний треугольник со стороной 4 имеет периметр $P_2 = 4 + 4 + 4 = 12$. Периметры равны, но треугольники не равны.
• Обратное утверждение истинно. Если бы треугольники были равны, то их соответствующие стороны были бы равны, а значит, и их периметры (суммы длин сторон) были бы обязательно равны. Из этого следует, что если периметры не равны, то и треугольники не могут быть равны.

Таким образом, для первого утверждения прямое утверждение ложно, а обратное — истинно. Это соответствует случаю 3).

Ответ: обратное утверждение: «если периметры двух треугольников не равны, то эти треугольники не равны». Для этого утверждения выполняется условие 3): прямое утверждение ложно, а обратное — истинно.

2) Исходное утверждение: «если градусная мера угла больше $90^\circ$, то он тупой».

Сформулируем обратное утверждение, поменяв местами условие («градусная мера угла больше $90^\circ$») и заключение («он тупой»).

Обратное утверждение: «если угол тупой, то его градусная мера больше $90^\circ$».

Проанализируем истинность прямого и обратного утверждений.

• Прямое утверждение истинно. По определению, тупым называется угол, градусная мера которого больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$. Таким образом, если градусная мера угла больше $90^\circ$ (и он является углом в евклидовой геометрии, т.е. меньше $180^\circ$), то он тупой.
• Обратное утверждение истинно. Это также следует непосредственно из определения тупого угла. Если угол является тупым, то его градусная мера по определению больше $90^\circ$.

Таким образом, для второго утверждения и прямое, и обратное утверждения являются истинными. Это соответствует случаю 1).

Ответ: обратное утверждение: «если угол тупой, то его градусная мера больше $90^\circ$». Для этого утверждения выполняется условие 1): прямое и обратное утверждения истинны.

300. Проведите две прямые $AB$ и $CD$. Проведите прямую $MK$, пересекающую каждую из прямых $AB$ и $CD$. Обозначьте точку пересечения прямых $AB$ и $MK$ буквой $O$, а прямых $CD$ и $MK$ – буквой $E$. Заполните пропуски в тексте:

1) углы $AOM$ и ... — соответственные;

2) углы $AOE$ и ... — соответственные;

3) углы $AOE$ и ... — накрест лежащие;

4) углы $AOE$ и ... — односторонние.

Укажите, какими углами (соответственными, накрест лежащими или односторонними) являются:

1) $∠BOM$ и $∠DEM$;

2) $∠BOE$ и $∠DEM$;

3) $∠BOE$ и $∠OEC$.

301. Сформулируйте утверждение, отрицающее данное:

1) отрезок $AB$ пересекает прямую $m$;

2) градусная мера угла $ABC$ больше $40^\circ$;

3) из двух смежных углов хотя бы один не больше $90^\circ$;

4) лучи $OA$ и $OB$ не являются дополнительными;

5) отрезок имеет только одну середину.

1) Исходное утверждение гласит, что отрезок AB и прямая m имеют хотя бы одну общую точку. Отрицанием этого будет утверждение, что у отрезка AB и прямой m нет ни одной общей точки. Ответ: Отрезок AB не пересекает прямую m.

2) Исходное утверждение: «градусная мера угла АВС больше 40°». Математически это можно записать как неравенство $\angle ABC > 40^\circ$. Отрицанием строгого неравенства «больше» ($>$) является нестрогое неравенство «меньше или равно» ($\le$), которое также можно сформулировать как «не больше». Ответ: Градусная мера угла ABC не больше 40°, то есть $\angle ABC \le 40^\circ$.

3) Исходное утверждение: «из двух смежных углов хотя бы один не больше 90°». Логическая конструкция «хотя бы один» при отрицании заменяется на «каждый» или «все», а свойство, которым обладает объект, заменяется на противоположное. Свойство «не больше 90°» (т.е. $\le 90^\circ$) при отрицании становится «больше 90°» (т.е. $> 90^\circ$). Таким образом, отрицающее утверждение будет гласить, что каждый из двух смежных углов больше 90°. Ответ: Каждый из двух смежных углов больше 90°.

4) Исходное утверждение: «лучи ОА и ОВ не являются дополнительными». Данное утверждение уже содержит отрицание (частицу «не»). Чтобы сформулировать отрицающее его утверждение, нужно убрать эту частицу. Ответ: Лучи ОА и ОВ являются дополнительными.

5) Исходное утверждение: «отрезок имеет только одну середину». Это означает, что количество середин у отрезка равно единице. Отрицанием этого будет утверждение, что количество середин не равно единице, то есть их либо ноль (середины не существует), либо больше одной. Ответ: Отрезок не имеет середины или имеет более одной середины.

301. Начертите две прямые и проведите их секущую. Пронумеруйте углы, образованные при пересечении данных прямых секущей. Укажите среди этих углов все пары:

1) соответственных углов;

2) односторонних углов;

3) накрест лежащих углов.

302. Сформулируйте утверждение, отрицающее данное:

1) угол $ABC$ не является прямым;

2) треугольник $MKE$ равнобедренный;

3) через точку на прямой можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной;

4) луч $AC$ делит угол $BAK$ пополам.

1) Исходное утверждение: "угол ABC не является прямым". Это означает, что градусная мера угла ABC не равна $90^\circ$ ($\angle ABC \neq 90^\circ$).

Отрицанием данного утверждения является утверждение о том, что угол ABC — прямой. Для этого достаточно убрать частицу "не".

Ответ: Угол ABC является прямым.

2) Исходное утверждение: "треугольник MKE равнобедренный". Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого как минимум две стороны равны.

Отрицанием будет утверждение, что треугольник MKE не является равнобедренным. Это означает, что у него нет двух равных сторон, то есть все его стороны имеют разную длину.

Ответ: Треугольник MKE не является равнобедренным.

3) Исходное утверждение: "через точку на прямой можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной".

Это утверждение утверждает существование и единственность такой прямой. Отрицание утверждения о том, что существует "ровно один" или "только один" объект с заданным свойством, звучит так: "не существует ни одного такого объекта или существует более одного такого объекта".

Таким образом, отрицанием будет: либо нельзя провести ни одной перпендикулярной прямой, либо можно провести более одной.

Ответ: Через точку на прямой нельзя провести ни одной прямой, перпендикулярной данной, или можно провести более одной прямой, перпендикулярной данной.

4) Исходное утверждение: "луч AC делит угол BAK пополам". Это значит, что луч AC является биссектрисой угла BAK, и углы, на которые он его делит, равны: $\angle BAC = \angle CAK$.

Отрицанием будет утверждение о том, что луч AC не делит угол BAK пополам. Это означает, что углы, образованные этим лучом, не равны друг другу: $\angle BAC \neq \angle CAK$.

Ответ: Луч AC не делит угол BAK пополам.

302. На рисунке 209 укажите все пары накрест лежащих, односторонних и соответственных углов.

Рис. 209

Накрест лежащие углы:

Внутренние накрест лежащие:

$\angle$MKO и $\angle$KTD

$\angle$EKO и $\angle$KTS

Внешние накрест лежащие:

$\angle$MKC и $\angle$CTD

$\angle$CKE и $\angle$STC

Односторонние углы:

Внутренние односторонние:

$\angle$MKO и $\angle$KTS

$\angle$EKO и $\angle$KTD

Внешние односторонние:

$\angle$MKC и $\angle$STC

$\angle$CKE и $\angle$CTD

Соответственные углы:

$\angle$MKC и $\angle$KTS

$\angle$MKO и $\angle$STC

$\angle$CKE и $\angle$KTD

$\angle$EKO и $\angle$CTD