Страница 85 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Рис. 214

Наблюдайте, рисуйте,

конструируйте, фантазируйте

296. Квадрат разрезали по диагоналям на четыре треугольника (рис. 214). Сложите из этих треугольников два квадрата.

Исходный квадрат разрезается по диагоналям на четыре одинаковых (конгруэнтных) прямоугольных равнобедренных треугольника. У каждого такого треугольника есть один прямой угол ($90^\circ$), образованный в центре исходного квадрата, и два острых угла по $45^\circ$ при вершинах исходного квадрата. Самая длинная сторона каждого треугольника — это гипотенуза, которая раньше была стороной исходного квадрата. Две другие, более короткие стороны — это катеты, и они равны между собой.

Для того чтобы сложить два новых квадрата из этих четырех треугольников, необходимо выполнить следующие действия:

1. Разделите четыре имеющихся треугольника на две пары.
2. Возьмите первую пару треугольников. Приложите их друг к другу по всей длине их самых длинных сторон — гипотенуз.
3. Поскольку углы при гипотенузе у каждого треугольника равны $45^\circ$, при их сложении в двух вершинах новой фигуры образуются прямые углы ($45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$). Два других угла новой фигуры будут прямыми углами исходных треугольников. Таким образом, получится четырехугольник с четырьмя прямыми углами.
4. Сторонами этой новой фигуры станут катеты исходных треугольников. Так как треугольники равнобедренные, их катеты равны. Следовательно, все четыре стороны полученной фигуры будут равны между собой. Четырехугольник с равными сторонами и прямыми углами является квадратом.
5. Повторите те же действия для второй пары треугольников, чтобы получить второй точно такой же квадрат.

Таким образом, из четырех частей одного большого квадрата можно собрать два меньших, но одинаковых по размеру квадрата.

На рисунке показано, как из исходного квадрата (слева), разрезанного на треугольники 1, 2, 3 и 4, собираются два новых квадрата (справа). Один квадрат собран из треугольников 1 и 3, а второй — из треугольников 2 и 4.

Ответ: Нужно составить две пары из четырех треугольников. В каждой паре следует соединить треугольники вдоль их самых длинных сторон (гипотенуз). В результате получатся два одинаковых квадрата.

296. На отрезке $AB$ отметили точки $C$ и $D$ так, что $AC = BD$. Точка $O$ – середина отрезка $CD$. Найдите расстояние между точками $C$ и $D$, если $AB = 21$ см, $AO : OD = 7 : 2$.