Номер 5, страница 86 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 12. Теоремы. Глава 2. Треугольники - номер 5, страница 86.

5. В чём состоит метод доказательства от противного?

Метод доказательства от противного (лат. reductio ad absurdum — «сведение к абсурду») — это один из видов косвенного доказательства. Его суть заключается в том, чтобы доказать истинность некоторого утверждения, мы временно предполагаем, что истинным является его отрицание (противоположное утверждение), а затем, с помощью логически верных рассуждений, приходим к противоречию.

Суть метода

Если мы хотим доказать утверждение А, мы начинаем с предположения, что А ложно, то есть истинно утверждение не А. Далее, опираясь на это предположение и уже известные истинные факты (аксиомы, ранее доказанные теоремы), мы строим цепочку логических выводов. Если эта цепочка приводит нас к заведомо ложному утверждению (противоречию), например, $1=0$, или к утверждению, которое противоречит нашему исходному предположению или известным фактам, то это означает, что наше первоначальное предположение (не А) было неверным. Согласно закону исключённого третьего, если утверждение не А ложно, то утверждение А должно быть истинным. Что и требовалось доказать.

Алгоритм доказательства

Процесс доказательства от противного можно разбить на следующие шаги:
1. Формулируется утверждение (тезис), которое необходимо доказать.
2. Делается предположение, что доказываемое утверждение неверно (принимается антитезис).
3. Из этого предположения с помощью логических рассуждений выводится следствие (или несколько следствий).
4. Показывается, что выведенное следствие вступает в противоречие с:
а) ранее доказанной теоремой или аксиомой;
б) условием доказываемого утверждения;
в) сделанным ранее предположением (антитезисом).
5. Делается вывод, что раз мы пришли к противоречию, то наше первоначальное предположение (антитезис) было ложным.
6. На основании ложности антитезиса заключается, что исходный тезис является истинным.

Пример: Доказательство иррациональности числа $\sqrt{2}$

Тезис: Число $\sqrt{2}$ является иррациональным.
Доказательство:
1. Предположим противное (антитезис): число $\sqrt{2}$ является рациональным.
2. По определению, рациональное число можно представить в виде несократимой дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. Пусть $\sqrt{2} = \frac{m}{n}$, где дробь $\frac{m}{n}$ несократима.
3. Возведем обе части равенства в квадрат: $2 = (\frac{m}{n})^2$, что равносильно $2 = \frac{m^2}{n^2}$, откуда получаем $m^2 = 2n^2$.
4. Из равенства $m^2 = 2n^2$ следует, что $m^2$ является чётным числом (так как оно равно произведению 2 на целое число $n^2$). Если квадрат числа чётный, то и само число является чётным. Следовательно, $m$ — чётное число.
5. Раз $m$ чётное, его можно представить в виде $m = 2k$, где $k$ — некоторое целое число.
6. Подставим это выражение для $m$ в наше уравнение $m^2 = 2n^2$: $(2k)^2 = 2n^2$, что дает $4k^2 = 2n^2$.
7. Разделим обе части на 2: $2k^2 = n^2$. Из этого равенства следует, что $n^2$ также является чётным числом, а значит, и само число $n$ — чётное.
8. Получаем противоречие. Мы выяснили, что и числитель $m$, и знаменатель $n$ являются чётными числами. Это означает, что дробь $\frac{m}{n}$ можно сократить на 2. Но это противоречит нашему первоначальному предположению, что дробь $\frac{m}{n}$ является несократимой.
9. Вывод. Поскольку наше предположение о рациональности $\sqrt{2}$ привело к противоречию, это предположение неверно.
10. Заключение. Следовательно, число $\sqrt{2}$ является иррациональным.

Ответ: Метод доказательства от противного заключается в том, что для доказательства истинности утверждения предполагают, что оно ложно, и из этого предположения путем логических рассуждений выводят противоречие. Полученное противоречие доказывает ложность сделанного предположения и, следовательно, истинность исходного утверждения.

местами?

5. В чём состоит метод доказательства от противного?