Номер 2, страница 83 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 11. Третий признак равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 2, страница 83.

2. Где находятся точки, равноудалённые от концов отрезка?

Множество всех точек плоскости, равноудалённых от концов отрезка, представляет собой прямую, которая перпендикулярна данному отрезку и проходит через его середину. Такая прямая носит название серединный перпендикуляр к отрезку.

Чтобы доказать это, необходимо рассмотреть и доказать две взаимно обратные теоремы.

Пусть нам дан отрезок $AB$.

Прямая теорема: любая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на его серединном перпендикуляре.

Возьмём произвольную точку $M$, для которой выполняется условие равенства расстояний до концов отрезка $A$ и $B$, то есть $MA = MB$.

Соединим точку $M$ с точками $A$ и $B$. Мы получим треугольник $\triangle AMB$. Поскольку по условию $MA = MB$, этот треугольник является равнобедренным с основанием $AB$.

Пусть точка $O$ — это середина отрезка $AB$. Тогда отрезок $MO$ является медианой треугольника $\triangle AMB$, проведённой к основанию.

По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведённая к основанию, является также и высотой. Это означает, что отрезок $MO$ перпендикулярен основанию $AB$, то есть $MO \perp AB$.

Таким образом, точка $M$ лежит на прямой, проходящей через середину отрезка $AB$ и перпендикулярной ему. По определению, эта прямая и есть серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.

Обратная теорема: любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от его концов.

Возьмём произвольную точку $M$, которая лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. Пусть $O$ — середина отрезка $AB$.

По определению серединного перпендикуляра, прямая $MO$ проходит через середину $O$ отрезка $AB$ (значит, $AO = OB$) и перпендикулярна ему (значит, $\angle MOA = \angle MOB = 90^\circ$).

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle MOA$ и $\triangle MOB$. В этих треугольниках катет $AO$ равен катету $BO$, а катет $MO$ является общим.

Следовательно, треугольники $\triangle MOA$ и $\triangle MOB$ равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, в данном случае — гипотенуз: $MA = MB$.

Это доказывает, что любая точка на серединном перпендикуляре равноудалена от концов отрезка.

Совокупность этих двух доказанных теорем и определяет, что искомое геометрическое место точек — это серединный перпендикуляр.

Ответ: Точки, равноудалённые от концов отрезка, находятся на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

2. Где находятся точки, равноудалённые от концов отрезка?