Номер 269, страница 80 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 10. Признаки равнобедренного треугольника. Глава 2. Треугольники - номер 269, страница 80.

269. Через середину $D$ стороны $AB$ треугольника $ABC$ проведены прямые, перпендикулярные биссектрисам углов $ABC$ и $BAC$. Эти прямые пересекают стороны $AC$ и $BC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Докажите, что $AM = BK$.

Рис. 200

Доказательство

Для доказательства утверждения разобьем рассуждения на три части.

Часть 1: Доказательство равенства $AM = AD$

Рассмотрим треугольник $ADM$. Пусть $\angle BAC = \alpha$, а его биссектриса — $b_A$. По условию задачи, прямая $DM$ перпендикулярна биссектрисе $b_A$, то есть $DM \perp b_A$.

Найдем углы в треугольнике $ADM$.

• Угол $\angle DAM$ является углом $A$ треугольника $ABC$, поэтому $\angle DAM = \alpha$.
• Угол $\angle ADM$ — это угол между прямой $AB$ (на которой лежит отрезок $AD$) и прямой $DM$. Угол между прямой $AB$ и биссектрисой $b_A$ равен $\alpha/2$. Поскольку прямая $DM$ перпендикулярна $b_A$, угол между прямыми $AB$ и $DM$ будет равен $90^\circ - \alpha/2$. Таким образом, $\angle ADM = 90^\circ - \alpha/2$.
• Аналогично, угол $\angle AMD$ — это угол между прямой $AC$ (на которой лежит отрезок $AM$) и прямой $DM$. Угол между прямой $AC$ и биссектрисой $b_A$ равен $\alpha/2$. Так как $DM \perp b_A$, угол между прямыми $AC$ и $DM$ равен $90^\circ - \alpha/2$. Таким образом, $\angle AMD = 90^\circ - \alpha/2$.

Поскольку в треугольнике $ADM$ два угла равны ($\angle ADM = \angle AMD$), он является равнобедренным, а стороны, противолежащие этим углам, равны. Следовательно, $AM = AD$.

Часть 2: Доказательство равенства $BK = BD$

Рассмотрим треугольник $BDK$. Пусть $\angle ABC = \beta$, а его биссектриса — $b_B$. По условию, прямая $DK$ перпендикулярна биссектрисе $b_B$, то есть $DK \perp b_B$.

Рассуждая аналогично первой части, найдем углы в треугольнике $BDK$.

• Угол $\angle DBK$ является углом $B$ треугольника $ABC$, поэтому $\angle DBK = \beta$.
• Угол $\angle BDK$ (между прямыми $AB$ и $DK$) равен $90^\circ - \beta/2$.
• Угол $\angle BKD$ (между прямыми $BC$ и $DK$) равен $90^\circ - \beta/2$.

Поскольку в треугольнике $BDK$ два угла равны ($\angle BDK = \angle BKD$), он является равнобедренным. Следовательно, $BK = BD$.

Часть 3: Завершение доказательства

По условию задачи, точка $D$ является серединой стороны $AB$. Это означает, что $AD = BD$.

Из результатов, полученных в Части 1 и Части 2, мы имеем:

$AM = AD$

$BK = BD$

Так как $AD = BD$, мы можем заключить, что $AM = BK$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AM = BK$ доказано.

269. В теоремах 4.1, 8.2, 9.1, 10.3, 11.2 укажите условие и заключение теоремы.