Номер 268, страница 80 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 10. Признаки равнобедренного треугольника. Глава 2. Треугольники - номер 268, страница 80.

268. На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ отметили соответственно точки $D$ и $E$ так, что $\angle EAC = \angle DCA$. Отрезки $AE$ и $CD$ пересекаются в точке $F$, $DF = EF$. Докажите, что $\triangle ABC$ равнобедренный.

Рассмотрим $\triangle AFC$. По условию задачи дано, что $\angle EAC = \angle DCA$. В треугольнике $AFC$ эти углы являются углами при основании $AC$, то есть $\angle FAC = \angle FCA$.

Треугольник, у которого углы при основании равны, является равнобедренным. Следовательно, $\triangle AFC$ — равнобедренный, а его боковые стороны равны: $AF = CF$.

Также по условию задачи нам известно, что $DF = EF$.

Сравним длины отрезков $AE$ и $CD$. Отрезок $AE$ состоит из частей $AF$ и $FE$, то есть $AE = AF + FE$. Отрезок $CD$ состоит из частей $CF$ и $FD$, то есть $CD = CF + FD$.

Поскольку $AF = CF$ и $FE = DF$, то, складывая эти равенства, получаем $AF + FE = CF + FD$. Это означает, что $AE = CD$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle CEA$. В этих треугольниках:

1. $AC$ — общая сторона.

2. $CD = AE$, как было доказано выше.

3. $\angle DCA = \angle EAC$ по условию.

Следовательно, $\triangle ADC$ равен $\triangle CEA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В $\triangle ADC$ против стороны $CD$ лежит угол $\angle DAC$. В $\triangle CEA$ против равной ей стороны $AE$ лежит угол $\angle ECA$. Таким образом, $\angle DAC = \angle ECA$.

Углы $\angle DAC$ и $\angle ECA$ являются углами при основании $AC$ в треугольнике $ABC$, то есть $\angle BAC = \angle BCA$.

Поскольку в треугольнике $ABC$ два угла равны, он является равнобедренным.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Будет ли угол МОК прямым?

Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

268. Квадрат разрезали по диагоналям на четыре треугольника (рис. 188). Сложите из этих треугольников два квадрата.

Рис. 188