Номер 270, страница 80 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 10. Признаки равнобедренного треугольника. Глава 2. Треугольники - номер 270, страница 80.

270. Медиана $AM$ треугольника $ABC$ перпендикулярна его биссектрисе $BK$. Найдите сторону $AB$, если $BC = 16$ см.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Пусть точка $O$ — это точка пересечения медианы $AM$ и биссектрисы $BK$.

По условию задачи, $AM$ является медианой, проведенной к стороне $BC$. Это означает, что точка $M$ — середина стороны $BC$, и, следовательно, $BM = MC = \frac{1}{2}BC$.

По условию, $BK$ является биссектрисой угла $\angle ABC$. Это означает, что она делит угол $\angle B$ пополам: $\angle ABK = \angle KBC$.

Также дано, что медиана $AM$ перпендикулярна биссектрисе $BK$, то есть $AM \perp BK$. Отсюда следует, что угол между ними равен $90^\circ$, т.е. $\angle AOB = 90^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABM$. В этом треугольнике отрезок $BO$ является одновременно:

1. Биссектрисой угла $\angle ABM$ (так как $BO$ является частью биссектрисы $BK$).
2. Высотой, опущенной на сторону $AM$ (так как $BO \perp AM$).

Если в треугольнике биссектриса, проведенная из некоторой вершины, совпадает с высотой, проведенной из той же вершины, то такой треугольник является равнобедренным. В нашем случае треугольник $ABM$ является равнобедренным с основанием $AM$.

Это значит, что боковые стороны $AB$ и $BM$ равны: $AB = BM$.

Мы знаем, что $M$ — середина стороны $BC$, и по условию $BC = 16$ см. Найдем длину отрезка $BM$:

$BM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \times 16 = 8$ см.

Так как $AB = BM$, то $AB = 8$ см.

Ответ: 8 см.

270. Из теорем 4.1, 8.2, 9.1, 10.3, 11.2 выберите:

1) теоремы-свойства;

2) теоремы-признаки.