Номер 267, страница 80 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 10. Признаки равнобедренного треугольника. Глава 2. Треугольники - номер 267, страница 80.

267. Точки $M$ и $K$ принадлежат соответственно боковым сторонам $AB$ и $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$, $AM = CK$. Отрезки $AK$ и $CM$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что $\triangle AOC$ равнобедренный.

Для доказательства того, что треугольник $ΔAOC$ является равнобедренным, необходимо показать, что у него либо две стороны равны ($AO = CO$), либо два угла равны ($∠OAC = ∠OCA$). Мы докажем равенство углов.

Рассмотрим треугольники $ΔAKC$ и $ΔCMA$.

1. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.
2. По условию задачи, треугольник $ΔABC$ — равнобедренный с боковыми сторонами $AB$ и $BC$. Следовательно, углы при основании $AC$ равны: $∠BAC = ∠BCA$. Эти же углы можно обозначить как $∠KAC$ и $∠MCA$ соответственно. Таким образом, $∠KAC = ∠MCA$.
3. По условию задачи, $AM = CK$.

Таким образом, мы сравниваем треугольники $ΔAKC$ и $ΔCMA$. Однако, для использования признака равенства "по двум сторонам и углу между ними" (первый признак), нам нужно убедиться, что угол находится между известными сторонами. Давайте пересмотрим выбор треугольников. Правильнее будет рассмотреть треугольники $ΔAMC$ и $ΔCKA$.

Рассмотрим треугольники $ΔAMC$ и $ΔCKA$:

• $AM = CK$ (по условию).
• $AC$ — общая сторона.
• $∠MAC = ∠KCA$ (так как это углы при основании равнобедренного треугольника $ΔABC$).

Следовательно, $ΔAMC = ΔCKA$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов, а именно: $∠ACM = ∠CAK$.

Теперь рассмотрим треугольник $ΔAOC$. Углы $∠OAC$ и $∠OCA$ являются углами этого треугольника при его основании $AC$.

• Угол $∠OAC$ является тем же углом, что и $∠CAK$.
• Угол $∠OCA$ является тем же углом, что и $∠ACM$.

Поскольку мы доказали, что $∠CAK = ∠ACM$, из этого следует, что $∠OAC = ∠OCA$.

В треугольнике $ΔAOC$ два угла при стороне $AC$ равны. По признаку равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны, то он является равнобедренным.

Ответ: Треугольник $ΔAOC$ является равнобедренным, что и требовалось доказать.

267. Прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$, лучи $OM$ и $OK$ – биссектрисы соответственно углов $AOC$ и $BOC$, образовавшихся при этом.

Будет ли угол $MOK$ прямым?