Номер 262, страница 79 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 10. Признаки равнобедренного треугольника. Глава 2. Треугольники - номер 262, страница 79.

262. Биссектрисы $AM$ и $CK$ углов при основании $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Докажите, что $\Delta AOC$ равнобедренный.

По условию задачи, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно:

$∠BAC = ∠BCA$

По условию, $AM$ является биссектрисой угла $∠BAC$. По определению биссектрисы, она делит угол пополам. Точка $O$ является точкой пересечения биссектрис и, следовательно, лежит на $AM$. Поэтому угол $∠OAC$ равен половине угла $∠BAC$:

$∠OAC = \frac{1}{2}∠BAC$

Аналогично, $CK$ является биссектрисой угла $∠BCA$. Точка $O$ также лежит на $CK$. Поэтому угол $∠OCA$ равен половине угла $∠BCA$:

$∠OCA = \frac{1}{2}∠BCA$

Так как мы установили, что $∠BAC = ∠BCA$, то равны и их половины:

$\frac{1}{2}∠BAC = \frac{1}{2}∠BCA$

Из этого следует, что углы в треугольнике $AOC$ при его стороне $AC$ равны:

$∠OAC = ∠OCA$

Рассмотрим треугольник $AOC$. Согласно признаку равнобедренного треугольника, если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Поскольку в треугольнике $AOC$ углы при стороне $AC$ равны, то он является равнобедренным с основанием $AC$. Стороны, противолежащие равным углам, также равны: $AO = OC$.

Таким образом, доказано, что треугольник $AOC$ является равнобедренным.

Ответ: Треугольник $AOC$ является равнобедренным, так как углы при его основании $AC$ ($∠OAC$ и $∠OCA$) равны. Это равенство следует из того, что данные углы являются половинами равных углов при основании ($∠BAC$ и $∠BCA$) исходного равнобедренного треугольника $ABC$.

262. Отрезки $BD$ и $B_1 D_1$ – биссектрисы треугольников $ABC$ и $A_1 B_1 C_1$ соответственно, $AB = A_1 B_1$, $BD = B_1 D_1$, $AD = A_1 D_1$. Докажите, что $\Delta ABC = \Delta A_1 B_1 C_1$.