Номер 266, страница 80 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 10. Признаки равнобедренного треугольника. Глава 2. Треугольники - номер 266, страница 80.

266. Медианы $AE$ и $CF$, проведённые к боковым сторонам $BC$ и $AB$ равнобедренного треугольника $ABC$, пересекаются в точке $M$. Докажите, что $\Delta AMC$ равнобедренный.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $ \triangle AEC $ и $ \triangle CFA $.

По условию, треугольник $ \triangle ABC $ является равнобедренным, а $ AB $ и $ BC $ — его боковые стороны. Следовательно, $ AB = BC $. Также, углы при основании равнобедренного треугольника равны, то есть $ \angle BAC = \angle BCA $.

Поскольку $ AE $ и $ CF $ являются медианами, проведенными к сторонам $ BC $ и $ AB $ соответственно, точки $ E $ и $ F $ являются серединами этих сторон. Таким образом, $ EC = \frac{1}{2}BC $ и $ AF = \frac{1}{2}AB $. Так как $ AB = BC $, то и их половины равны, следовательно, $ EC = AF $.

Теперь сравним треугольники $ \triangle AEC $ и $ \triangle CFA $ по двум сторонам и углу между ними:
1. $ AC $ — общая сторона.
2. $ EC = AF $ (как доказано выше).
3. $ \angle ECA = \angle FAC $ (так как это углы при основании равнобедренного треугольника $ \triangle ABC $, то есть $ \angle BCA = \angle BAC $).

Следовательно, $ \triangle AEC \cong \triangle CFA $ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны медианы $ AE = CF $.

Точка $ M $ является точкой пересечения медиан $ AE $ и $ CF $, а значит, $ M $ — центроид треугольника $ \triangle ABC $. По свойству медиан, точка пересечения делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Таким образом, $ AM = \frac{2}{3}AE $ и $ CM = \frac{2}{3}CF $.

Поскольку мы ранее доказали, что $ AE = CF $, то и $ \frac{2}{3}AE = \frac{2}{3}CF $.
Отсюда следует, что $ AM = CM $.

Так как в треугольнике $ \triangle AMC $ две стороны ($ AM $ и $ CM $) равны, то этот треугольник является равнобедренным по определению. Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник $ \triangle AMC $ является равнобедренным.

266. На отрезке $AB$ отметили точки $C$ и $D$ так, что $AC : BC = 7 : 8$, $AD : BD = 13 : 17$. Найдите длину отрезка $AB$, если расстояние между точками $C$ и $D$ равно $2$ см.