Номер 263, страница 79 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 10. Признаки равнобедренного треугольника. Глава 2. Треугольники - номер 263, страница 79.

263. В треугольнике $ABC$ биссектриса $BK$ является его высотой. Найдите периметр треугольника $ABC$, если периметр треугольника $ABK$ равен $16$ см и $BK = 5$ см.

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABK $ и $ \triangle CBK $.

По условию, $BK$ — биссектриса угла $ \angle ABC $, следовательно, $ \angle ABK = \angle CBK $.

Также по условию, $BK$ — высота, следовательно, $ BK \perp AC $, а значит $ \angle BKA = \angle BKC = 90^\circ $.

Сторона $BK$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, $ \triangle ABK $ равен $ \triangle CBK $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Для прямоугольных треугольников это признак равенства по катету и прилежащему острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AB = CB$ и $AK = CK$. Это означает, что треугольник $ \triangle ABC $ является равнобедренным.

Периметр треугольника $ \triangle ABK $ вычисляется по формуле $ P_{ABK} = AB + AK + BK $.

По условию задачи, $ P_{ABK} = 16 $ см и $ BK = 5 $ см. Подставим эти значения:

$ 16 = AB + AK + 5 $

Отсюда найдем сумму длин сторон $AB$ и $AK$:

$ AB + AK = 16 - 5 = 11 $ см.

Периметр треугольника $ \triangle ABC $ равен сумме длин его сторон:

$ P_{ABC} = AB + BC + AC $.

Используя полученные ранее равенства, мы можем выразить $P_{ABC}$ через известные нам величины. Заменим $BC$ на $AB$ и $AC$ на $AK + CK$. Так как $AK = CK$, то $ AC = AK + AK = 2AK $.

$ P_{ABC} = AB + AB + (AK + CK) = 2AB + 2AK = 2(AB + AK) $.

Мы уже вычислили, что $ AB + AK = 11 $ см. Подставим это значение в формулу для периметра $ \triangle ABC $:

$ P_{ABC} = 2 \cdot 11 = 22 $ см.

Ответ: 22 см.

263. Коля утверждает, что ему удалось сделать рисунок, на котором $AB = AC$ и $AM = AN$ (рис. 187). Прав ли Коля?

Рис. 185

Рис. 186

Рис. 187