Номер 264, страница 79 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 10. Признаки равнобедренного треугольника. Глава 2. Треугольники - номер 264, страница 79.

264. В треугольнике $ABC$ медиана $BM$ является его биссектрисой. Периметр треугольника $ABC$ равен $48$ см, а периметр треугольника $ABM$ – $30$ см. Найдите отрезок $BM$.

По условию, в треугольнике $ABC$ отрезок $BM$ является медианой и биссектрисой. Согласно свойству равнобедренного треугольника, если медиана, проведенная из вершины, совпадает с биссектрисой, то этот треугольник является равнобедренным. Следовательно, треугольник $ABC$ — равнобедренный, а стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB = BC$).

Периметр треугольника $ABC$ ($P_{ABC}$) — это сумма длин всех его сторон:

$P_{ABC} = AB + BC + AC$

Подставим известные значения и учтем, что $AB = BC$:

$48 = AB + AB + AC = 2 \cdot AB + AC$

Поскольку $BM$ — медиана, она делит сторону $AC$ на два равных отрезка: $AM = MC$. Таким образом, $AC = AM + MC = 2 \cdot AM$.

Заменим $AC$ в формуле периметра:

$48 = 2 \cdot AB + 2 \cdot AM$

Разделим обе части уравнения на 2:

$24 = AB + AM$

Теперь рассмотрим периметр треугольника $ABM$ ($P_{ABM}$):

$P_{ABM} = AB + AM + BM$

Нам известно, что $P_{ABM} = 30$ см, а сумма $AB + AM$ равна 24 см. Подставим эти значения в формулу:

$30 = (AB + AM) + BM$

$30 = 24 + BM$

Отсюда находим длину отрезка $BM$:

$BM = 30 - 24 = 6$ см.

Ответ: 6 см.

264. Будут ли два треугольника равными, если каждой стороне одного треугольника равна некоторая сторона другого треугольника?