Номер 2, страница 78 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 10. Признаки равнобедренного треугольника. Глава 2. Треугольники - номер 2, страница 78.

2. Какова связь между равными углами и равными сторонами треугольника?

Связь между равными углами и равными сторонами в треугольнике является фундаментальным свойством геометрии. Она прямая и двусторонняя: наличие равных сторон гарантирует наличие равных углов, и наоборот.

Основное правило гласит: в треугольнике против равных сторон лежат равные углы. Это свойство равнобедренного треугольника. Например, если в треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB = BC$), то углы, которые лежат напротив этих сторон, также будут равны. Это угол при вершине $C$ ($\angle C$), лежащий напротив стороны $AB$, и угол при вершине $A$ ($\angle A$), лежащий напротив стороны $BC$. Следовательно, из $AB = BC$ вытекает, что $\angle A = \angle C$.

Обратное утверждение также является верным: в треугольнике против равных углов лежат равные стороны. Это признак равнобедренного треугольника. Если в треугольнике $ABC$ равны два угла, например $\angle A = \angle C$, то стороны, лежащие напротив этих углов, будут равны. Сторона $BC$ лежит напротив угла $\angle A$, а сторона $AB$ – напротив угла $\angle C$. Таким образом, из равенства углов $\angle A = \angle C$ следует равенство сторон $BC = AB$.

Эта закономерность наиболее полно проявляется в равностороннем треугольнике. Если все три стороны треугольника равны ($AB = BC = CA$), то все три его угла также равны ($\angle A = \angle B = \angle C$). Так как сумма углов треугольника составляет $180^\circ$, каждый из них равен $180^\circ / 3 = 60^\circ$. И наоборот, если все углы треугольника равны по $60^\circ$, то он является равносторонним, то есть все его стороны равны.

Ответ: В любом треугольнике против равных сторон лежат равные углы, и, наоборот, против равных углов лежат равные стороны.

2. Какова связь между равными углами и равными сторонами треугольника?