Страница 65 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

190. На рисунке 161 $\angle 1 = \angle 2$, $\angle 3 = \angle 4$, $AB = 8$ см, $BC = 6$ см. Найдите стороны $AD$ и $CD$ треугольника $ADC$.

Рис. 161

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$ с диагональю $AC$.

По условию задачи, $\angle1 = \angle2$. Углы $\angle1$ (также известный как $\angle DAC$) и $\angle2$ (также известный как $\angle BCA$) являются накрест лежащими, образованными при пересечении прямых $AD$ и $BC$ секущей $AC$. Поскольку эти углы равны, то, согласно признаку параллельности прямых, прямые $AD$ и $BC$ параллельны ($AD \parallel BC$).

Также по условию, $\angle3 = \angle4$. Углы $\angle3$ (также известный как $\angle DCA$) и $\angle4$ (также известный как $\angle BAC$) являются накрест лежащими, образованными при пересечении прямых $AB$ и $CD$ секущей $AC$. Поскольку эти углы равны, то прямые $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$).

По определению, четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Так как мы доказали, что $AD \parallel BC$ и $AB \parallel CD$, то четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.

Одно из основных свойств параллелограмма — равенство его противоположных сторон. Следовательно, $AD = BC$ и $CD = AB$.

В условии задачи даны длины сторон: $AB = 8$ см и $BC = 6$ см.

Подставив эти значения, находим длины искомых сторон треугольника $ADC$:
$AD = BC = 6$ см
$CD = AB = 8$ см

Ответ: $AD = 6$ см, $CD = 8$ см.

190. На рисунке 150 $OA = OD$. Добавьте ещё одно условие так, чтобы треугольники $AOC$ и $DOB$ оказались равными:

1) по первому признаку равенства треугольников;

2) по второму признаку равенства треугольников.

191. На рисунке 162 $\angle B = \angle D$, $BM = DM$, $CD = 7$ см, $CM = 4$ см. Найдите стороны $AB$ и $AM$ треугольника $ABM$.

Рис. 162

Рассмотрим треугольники $ABM$ и $CDM$.

Сравним эти два треугольника по известным нам элементам:

1. $BM = DM$ по условию задачи.

2. $\angle B = \angle D$ (полное обозначение $\angle ABM = \angle CDM$) по условию задачи.

3. $\angle AMB = \angle CMD$ так как эти углы являются вертикальными, образованными при пересечении отрезков $AD$ и $BC$.

Таким образом, треугольник $ABM$ равен треугольнику $CDM$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие стороны равны. Сторона $AB$ лежит напротив угла $\angle AMB$ в треугольнике $ABM$. Сторона $CD$ лежит напротив угла $\angle CMD$ в треугольнике $CDM$. Поскольку $\angle AMB = \angle CMD$, то и стороны, лежащие напротив них, равны: $AB = CD$.

Аналогично, сторона $AM$ лежит напротив угла $\angle B$, а сторона $CM$ лежит напротив угла $\angle D$. Поскольку $\angle B = \angle D$, то и стороны, лежащие напротив них, равны: $AM = CM$.

В условии задачи даны значения длин сторон $CD$ и $CM$:

$CD = 7$ см

$CM = 4$ см

Используя установленные равенства, находим искомые стороны треугольника $ABM$:

$AB = CD = 7$ см.

$AM = CM = 4$ см.

Ответ: $AB = 7$ см, $AM = 4$ см.

191. Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. На отрезке $AC$ отмечена точка $M$, а на отрезке $BD$ – точка $K$ так, что $AM = BK$. Докажите, что:

1) $OM = OK$;

2) точки $M$, $O$ и $K$ лежат на одной прямой.

192. На рисунке 163 $\angle ABC = \angle DEF$, $BO = OE$. Докажите, что $\triangle BCO = \triangle EFO$.

Рис. 163

Рассмотрим треугольники $\triangle BCO$ и $\triangle EFO$. Для доказательства их равенства необходимо найти три равных элемента, соответствующих одному из признаков равенства треугольников.

1. По условию задачи дано, что сторона $BO$ равна стороне $OE$: $BO = OE$.

2. Угол $\angle CBO$ в треугольнике $\triangle BCO$ и угол $\angle FEO$ в треугольнике $\triangle EFO$ равны. Это следует из условия, что $\angle ABC = \angle DEF$, так как угол $\angle CBO$ является тем же самым углом, что и $\angle ABC$, а угол $\angle FEO$ — тем же самым углом, что и $\angle DEF$. Следовательно, $\angle CBO = \angle FEO$.

3. Угол $\angle BOC$ и угол $\angle EOF$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении двух прямых линий BF и CE. По свойству вертикальных углов, они равны: $\angle BOC = \angle EOF$.

Таким образом, мы установили, что сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($\triangle BCO$) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($\triangle EFO$).

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), треугольник $\triangle BCO$ равен треугольнику $\triangle EFO$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\triangle BCO = \triangle EFO$ доказано на основе второго признака равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), так как $BO=OE$ (по условию), $\angle CBO = \angle FEO$ (по условию, так как это углы $\angle ABC$ и $\angle DEF$), и $\angle BOC = \angle EOF$ (как вертикальные углы).

192. На одной стороне угла с вершиной в точке $O$ (рис. 151) отмечены точки $A$ и $B$, а на другой — точки $C$ и $D$ так, что $OA = OC$, $AB = CD$. Докажите, что луч $OM$ является биссектрисой угла $BOD$, где $M$ — точка пересечения отрезков $AD$ и $BC$.

Рис. 151

193. На рисунке 164 $\angle BAO = \angle DCO, \angle BAC = \angle DCA$. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle ACD$.

Рис. 164

Проанализируем условие задачи. Нам дано, что $\angle BAO = \angle DCO$ и $\angle BAC = \angle DCA$.

Из рисунка видно, что точка $O$ является точкой пересечения отрезков $AC$ и $BD$, а значит, она лежит на отрезке $AC$. В этом случае луч $AO$ совпадает с лучом $AC$, а луч $CO$ — с лучом $CA$. Таким образом, $\angle BAO$ и $\angle BAC$ — это один и тот же угол, а $\angle DCO$ и $\angle DCA$ — также один и тот же угол.

Получается, что оба условия, данные в задаче ($\angle BAO = \angle DCO$ и $\angle BAC = \angle DCA$), эквивалентны одному равенству: $\angle BAC = \angle DCA$.

Чтобы доказать, что $\triangle ABC = \triangle ACD$, мы можем использовать это условие и тот факт, что сторона $AC$ является общей для обоих треугольников. Однако, по признакам равенства треугольников, равенства одной стороны и одного прилежащего к ней угла недостаточно для вывода о равенстве треугольников.

Наиболее вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Для решения задачи с использованием второго признака равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам) необходимо, чтобы вторая пара прилежащих к стороне $AC$ углов также была равна. Предположим, что второе условие должно было быть $\angle BCA = \angle DAC$.

При таком допущении проведем доказательство.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

В них:

1. Сторона $AC$ — общая.

2. Угол $\angle BAC = \angle DCA$ (по условию).

3. Угол $\angle BCA = \angle DAC$ (по нашему предположению).

Таким образом, треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABC = \triangle ACD$ доказано при предположении, что в условии задачи имелась опечатка, и верным условием является $\angle BCA = \angle DAC$.

193. Истинно ли утверждение: если через каждые две из трёх данных точек провести прямую, то получим три прямые?

194. Из точек $A$ и $B$, лежащих в одной полуплоскости относительно прямой $a$ и на одинаковом расстоянии от неё, опущены на эту прямую перпендикуляры $AC$ и $BD$. Найдите угол $\angle BCD$, если $\angle ADC = 25^\circ$.

Решение:

По условию задачи, из точек A и B опущены перпендикуляры AC и BD на прямую a. Это означает, что $AC \perp a$ и $BD \perp a$. Из этого следует несколько фактов:

1. Прямые AC и BD параллельны друг другу, так как они обе перпендикулярны одной и той же прямой a. То есть, $AC \parallel BD$.
2. Углы, образованные этими перпендикулярами с прямой a, являются прямыми: $\angle ACD = 90^\circ$ и $\angle BDC = 90^\circ$.

Также по условию дано, что точки A и B находятся на одинаковом расстоянии от прямой a. Длина перпендикуляра и есть расстояние от точки до прямой, следовательно, длины отрезков AC и BD равны: $AC = BD$.

Рассмотрим четырехугольник ACDB. Мы установили, что его противоположные стороны AC и BD параллельны ($AC \parallel BD$) и равны по длине ($AC = BD$). Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Более того, так как один из углов этого параллелограмма прямой ($\angle ACD = 90^\circ$), то параллелограмм ACDB является прямоугольником.

Теперь рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle ADC$ и $\triangle BCD$. Сравним их:

• Катет $AC$ треугольника $\triangle ADC$ равен катету $BD$ треугольника $\triangle BCD$ (по условию).
• Катет $CD$ является общим для обоих треугольников.

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ADC$ и $\triangle BCD$ равны по двум катетам (что является частным случаем признака равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, так как угол между катетами всегда $90^\circ$).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Углу $\angle ADC$ в треугольнике $\triangle ADC$ соответствует угол $\angle BCD$ в треугольнике $\triangle BCD$.

Таким образом, $\angle BCD = \angle ADC$.

Поскольку по условию $\angle ADC = 25^\circ$, то и $\angle BCD = 25^\circ$.

Ответ: $25^\circ$.

194. Лучи $OD$ и $OF$ – биссектрисы смежных углов $AOB$ и $BOC$ соответственно, $\angle AOD : \angle FOC = 2 : 7$. Найдите $\angle AOD$ и $\angle FOC$.

195. Отрезки $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Найдите угол $ACD$, если $\angle ABC = 64^\circ$, $\angle ACO = 56^\circ$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle DOC$.

По условию задачи, отрезки $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. Это означает, что:

• $AO = OD$
• $BO = OC$

Углы $\angle AOB$ и $\angle DOC$ являются вертикальными, следовательно, они равны:

$\angle AOB = \angle DOC$

Таким образом, треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle DOC$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):

$\triangle AOB \cong \triangle DOC$ (СУС)

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Углу $\angle ABO$ в треугольнике $\triangle AOB$ соответствует угол $\angle DCO$ в треугольнике $\triangle DOC$.

$\angle DCO = \angle ABO$

Поскольку точка $O$ лежит на отрезке $BC$, угол $\angle ABO$ является тем же углом, что и $\angle ABC$. По условию $\angle ABC = 64^\circ$, следовательно:

$\angle DCO = \angle ABC = 64^\circ$

Искомый угол $\angle ACD$ состоит из суммы двух углов: $\angle ACO$ и $\angle OCD$ (что то же самое, что и $\angle DCO$).

$\angle ACD = \angle ACO + \angle OCD$

Подставим известные значения. По условию дано, что $\angle ACO = 56^\circ$, и мы нашли, что $\angle OCD = 64^\circ$.

$\angle ACD = 56^\circ + 64^\circ = 120^\circ$

Ответ: $120^\circ$.

195. Разделите каждую из фигур, изображённых на рисунке 152, по линиям сетки на четыре равные части так, чтобы в каждой части был ровно один кружок.

Рис. 152

196. На сторонах угла с вершиной в точке B отмечены точки A и C, а на его биссектрисе – точка D так, что $\angle ADB = \angle CDB$. Докажите, что $AB = BC$.

Дано:
Угол $\angle ABC$.
Точки $A$ и $C$ лежат на сторонах угла.
$BD$ – биссектриса угла $\angle ABC$.
$D$ – точка на биссектрисе.
$\angle ADB = \angle CDB$.

Доказать:
$AB = BC$.

Доказательство:
Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$.
Для этих треугольников известно следующее:
1. $\angle ABD = \angle CBD$, так как $BD$ является биссектрисой угла $\angle ABC$ по условию.
2. Сторона $BD$ является общей для обоих треугольников.
3. $\angle ADB = \angle CDB$ по условию.

Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($\triangle ABD$) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($\triangle CBD$).
Следовательно, по второму признаку равенства треугольников, $\triangle ABD \cong \triangle CBD$.
Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона $AB$ в треугольнике $\triangle ABD$ лежит напротив угла $\angle ADB$. Сторона $BC$ в треугольнике $\triangle CBD$ лежит напротив угла $\angle CDB$. Так как углы $\angle ADB$ и $\angle CDB$ равны, то и противолежащие им стороны $AB$ и $BC$ также равны.
Значит, $AB = BC$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AB = BC$ доказано на основе второго признака равенства треугольников.

196. Начертите:

1) разносторонний остроугольный треугольник;

2) равнобедренный прямоугольный треугольник;

3) равнобедренный тупоугольный треугольник.

197. Через точку M, принадлежащую биссектрисе угла с вершиной в точке O, провели прямую, перпендикулярную биссектрисе. Эта прямая пересекает стороны данного угла в точках A и B. Докажите, что $AM = MB$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOM$ и $\triangle BOM$. Чтобы доказать, что $AM = MB$, докажем равенство этих треугольников.

Сравним треугольники $\triangle AOM$ и $\triangle BOM$:

1. Сторона $OM$ является общей для обоих треугольников.

2. Углы $\angle AOM$ и $\angle BOM$ равны, так как по условию луч, содержащий отрезок $OM$, является биссектрисой угла с вершиной $O$.

3. Прямая, проходящая через точки $A$ и $B$, по условию перпендикулярна биссектрисе в точке $M$. Следовательно, углы, образованные при их пересечении, являются прямыми: $\angle OMA = \angle OMB = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $\triangle AOM$ равен треугольнику $\triangle BOM$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Поскольку треугольники равны, то их соответственные стороны также равны. Сторона $AM$ в $\triangle AOM$ соответствует стороне $MB$ в $\triangle BOM$. Следовательно, $AM = MB$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Равенство $AM = MB$ следует из равенства треугольников $\triangle AOM$ и $\triangle BOM$, которое доказывается по второму признаку равенства треугольников (общая сторона $OM$ и два равных прилежащих к ней угла: $\angle AOM = \angle BOM$ и $\angle OMA = \angle OMB = 90^\circ$).

197. Начертите:

1) разносторонний прямоугольный треугольник;

2) разносторонний тупоугольный треугольник.

198. На рисунке 165 $\Delta ABC = \Delta A_1 B_1 C_1$, $\angle DBC = \angle D_1 B_1 C_1$. Докажите, что $\Delta DBC = \Delta D_1 B_1 C_1$.

Рис. 165

Рассмотрим треугольники $\triangle DBC$ и $\triangle D_1B_1C_1$. Чтобы доказать их равенство, воспользуемся вторым признаком равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

1. По условию задачи $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон и углов. Следовательно, мы можем утверждать, что:

а) $BC = B_1C_1$ (как соответственные стороны равных треугольников).

б) $\angle C = \angle C_1$ (или $\angle BCD = \angle B_1C_1D_1$) (как соответственные углы равных треугольников).

2. Также по условию задачи нам дано равенство углов: $\angle DBC = \angle D_1B_1C_1$.

3. Теперь сравним элементы треугольников $\triangle DBC$ и $\triangle D_1B_1C_1$. Мы имеем:

- Сторону $BC$ и прилежащие к ней углы $\angle BCD$ и $\angle DBC$.

- Сторону $B_1C_1$ и прилежащие к ней углы $\angle B_1C_1D_1$ и $\angle D_1B_1C_1$.

Поскольку $BC = B_1C_1$, $\angle BCD = \angle B_1C_1D_1$ и $\angle DBC = \angle D_1B_1C_1$, то сторона и два прилежащих к ней угла треугольника $\triangle DBC$ соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам треугольника $\triangle D_1B_1C_1$.

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников, $\triangle DBC = \triangle D_1B_1C_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle DBC$ и $\triangle D_1B_1C_1$ доказано на основании второго признака равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

198. Начертите равнобедренный треугольник с боковой стороной, равной 3 см, так, чтобы его угол при вершине был:

1) острым;

2) прямым;

3) тупым.

В построенных треугольниках проведите высоты к боковым сторонам.