Номер 193, страница 65 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 8. Первый и второй признаки равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 193, страница 65.

193. На рисунке 164 $\angle BAO = \angle DCO, \angle BAC = \angle DCA$. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle ACD$.

Рис. 164

Проанализируем условие задачи. Нам дано, что $\angle BAO = \angle DCO$ и $\angle BAC = \angle DCA$.

Из рисунка видно, что точка $O$ является точкой пересечения отрезков $AC$ и $BD$, а значит, она лежит на отрезке $AC$. В этом случае луч $AO$ совпадает с лучом $AC$, а луч $CO$ — с лучом $CA$. Таким образом, $\angle BAO$ и $\angle BAC$ — это один и тот же угол, а $\angle DCO$ и $\angle DCA$ — также один и тот же угол.

Получается, что оба условия, данные в задаче ($\angle BAO = \angle DCO$ и $\angle BAC = \angle DCA$), эквивалентны одному равенству: $\angle BAC = \angle DCA$.

Чтобы доказать, что $\triangle ABC = \triangle ACD$, мы можем использовать это условие и тот факт, что сторона $AC$ является общей для обоих треугольников. Однако, по признакам равенства треугольников, равенства одной стороны и одного прилежащего к ней угла недостаточно для вывода о равенстве треугольников.

Наиболее вероятно, в условии задачи допущена опечатка. Для решения задачи с использованием второго признака равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам) необходимо, чтобы вторая пара прилежащих к стороне $AC$ углов также была равна. Предположим, что второе условие должно было быть $\angle BCA = \angle DAC$.

При таком допущении проведем доказательство.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

В них:

1. Сторона $AC$ — общая.

2. Угол $\angle BAC = \angle DCA$ (по условию).

3. Угол $\angle BCA = \angle DAC$ (по нашему предположению).

Таким образом, треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$ равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABC = \triangle ACD$ доказано при предположении, что в условии задачи имелась опечатка, и верным условием является $\angle BCA = \angle DAC$.

193. Истинно ли утверждение: если через каждые две из трёх данных точек провести прямую, то получим три прямые?