Номер 192, страница 65 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 8. Первый и второй признаки равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 192, страница 65.

192. На рисунке 163 $\angle ABC = \angle DEF$, $BO = OE$. Докажите, что $\triangle BCO = \triangle EFO$.

Рис. 163

Рассмотрим треугольники $\triangle BCO$ и $\triangle EFO$. Для доказательства их равенства необходимо найти три равных элемента, соответствующих одному из признаков равенства треугольников.

1. По условию задачи дано, что сторона $BO$ равна стороне $OE$: $BO = OE$.

2. Угол $\angle CBO$ в треугольнике $\triangle BCO$ и угол $\angle FEO$ в треугольнике $\triangle EFO$ равны. Это следует из условия, что $\angle ABC = \angle DEF$, так как угол $\angle CBO$ является тем же самым углом, что и $\angle ABC$, а угол $\angle FEO$ — тем же самым углом, что и $\angle DEF$. Следовательно, $\angle CBO = \angle FEO$.

3. Угол $\angle BOC$ и угол $\angle EOF$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении двух прямых линий BF и CE. По свойству вертикальных углов, они равны: $\angle BOC = \angle EOF$.

Таким образом, мы установили, что сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($\triangle BCO$) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($\triangle EFO$).

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), треугольник $\triangle BCO$ равен треугольнику $\triangle EFO$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\triangle BCO = \triangle EFO$ доказано на основе второго признака равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), так как $BO=OE$ (по условию), $\angle CBO = \angle FEO$ (по условию, так как это углы $\angle ABC$ и $\angle DEF$), и $\angle BOC = \angle EOF$ (как вертикальные углы).

192. На одной стороне угла с вершиной в точке $O$ (рис. 151) отмечены точки $A$ и $B$, а на другой — точки $C$ и $D$ так, что $OA = OC$, $AB = CD$. Докажите, что луч $OM$ является биссектрисой угла $BOD$, где $M$ — точка пересечения отрезков $AD$ и $BC$.

Рис. 151