Номер 218, страница 68 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 8. Первый и второй признаки равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 218, страница 68.

218. Лучи OD и OF – биссектрисы смежных углов AOB и BOC соответственно, $\angle AOD : \angle FOC = 2 : 7$. Найдите $\angle AOD$ и $\angle FOC$.

Поскольку углы $ \angle AOB $ и $ \angle BOC $ являются смежными, их сумма равна $ 180^\circ $:
$ \angle AOB + \angle BOC = 180^\circ $

Луч $ OD $ — биссектриса угла $ \angle AOB $, следовательно, $ \angle AOB = 2 \cdot \angle AOD $.
Луч $ OF $ — биссектриса угла $ \angle BOC $, следовательно, $ \angle BOC = 2 \cdot \angle FOC $.

Подставим эти выражения в первое уравнение:
$ 2 \cdot \angle AOD + 2 \cdot \angle FOC = 180^\circ $
Вынесем общий множитель за скобки и разделим обе части уравнения на 2:
$ 2 \cdot (\angle AOD + \angle FOC) = 180^\circ $
$ \angle AOD + \angle FOC = 90^\circ $

По условию задачи дано отношение $ \angle AOD : \angle FOC = 2 : 7 $. Введем коэффициент пропорциональности $ x $. Тогда можно выразить углы следующим образом:
$ \angle AOD = 2x $
$ \angle FOC = 7x $

Подставим эти выражения в полученное ранее равенство:
$ 2x + 7x = 90^\circ $
$ 9x = 90^\circ $
$ x = \frac{90^\circ}{9} $
$ x = 10^\circ $

Теперь найдем градусные меры искомых углов:
$ \angle AOD = 2x = 2 \cdot 10^\circ = 20^\circ $
$ \angle FOC = 7x = 7 \cdot 10^\circ = 70^\circ $

Ответ: $ \angle AOD = 20^\circ $, $ \angle FOC = 70^\circ $.

218. На боковых сторонах $CA$ и $CB$ равнобедренного треугольника $ABC$ отложены равные отрезки $CK$ и $CM$. Докажите, что:

1) $\Delta AMC = \Delta BKC;$

2) $\Delta AMB = \Delta BKA.$