Страница 56 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

4. Какой треугольник называют прямоугольным? тупоугольным? остроугольным?

Прямоугольным

Прямоугольным называют треугольник, один из углов которого является прямым, то есть его градусная мера составляет ровно $90^\circ$. Два других угла в таком треугольнике всегда являются острыми (меньше $90^\circ$), и их сумма равна $90^\circ$. Стороны, прилегающие к прямому углу, называются катетами, а сторона, лежащая напротив прямого угла, — гипотенузой.

Ответ: треугольник, у которого есть прямой угол ($90^\circ$).

Тупоугольным

Тупоугольным называют треугольник, один из углов которого является тупым. Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$. Поскольку сумма всех углов треугольника равна $180^\circ$, два других угла в тупоугольном треугольнике всегда будут острыми.

Ответ: треугольник, у которого есть тупой угол (больше $90^\circ$).

Остроугольным

Остроугольным называют треугольник, у которого все три внутренних угла являются острыми. Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$. Таким образом, в остроугольном треугольнике каждый из трёх углов меньше $90^\circ$.

Ответ: треугольник, у которого все три угла острые (каждый меньше $90^\circ$).

4. Какой треугольник называют прямоугольным? Тупоугольным? Остроугольным?

5. Какие два треугольника называют равными?

Два треугольника называют равными, если их можно совместить наложением. Это означает, что при наложении одного треугольника на другой они полностью совпадают всеми своими точками.

Из определения равенства треугольников следует, что у равных треугольников равны все соответствующие элементы: стороны и углы.

Например, если треугольник $ABC$ равен треугольнику $A_1B_1C_1$, что записывается как $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$, то должны выполняться следующие шесть равенств:

1. Равенство соответствующих сторон: $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$.

2. Равенство соответствующих углов: $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$.

В записи равенства треугольников важен порядок вершин, так как он указывает на то, какие именно вершины, стороны и углы являются соответствующими (вершина $A$ соответствует вершине $A_1$, сторона $BC$ — стороне $B_1C_1$ и так далее).

Ответ: Два треугольника называют равными, если их можно совместить наложением. Это означает, что у таких треугольников соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны.

5. Какие два треугольника называют равными?

6. Как называют пары сторон и пары углов равных треугольников, которые совмещаются при наложении?

В геометрии два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением так, что они полностью совпадут. При таком наложении вершины, стороны и углы одного треугольника совмещаются с вершинами, сторонами и углами другого.

Пары таких элементов, которые совмещаются друг с другом, носят общее название — соответственные.

Рассмотрим это подробнее для сторон и углов. Пусть нам даны два равных треугольника: $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$. Это означает, что при наложении вершина $A$ совмещается с $A_1$, $B$ с $B_1$, и $C$ с $C_1$.

Пары сторон
Пары сторон равных треугольников, которые совмещаются при наложении, называются соответственными сторонами. В нашем примере это пары сторон ($AB$ и $A_1B_1$), ($BC$ и $B_1C_1$), ($AC$ и $A_1C_1$). Главное свойство соответственных сторон равных треугольников — их равенство по длине: $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$.

Пары углов
Пары углов равных треугольников, которые совмещаются при наложении, называются соответственными углами. Для треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ соответственными будут углы ($\angle A$ и $\angle A_1$), ($\angle B$ и $\angle B_1$), ($\angle C$ и $\angle C_1$). Соответственные углы равных треугольников также равны по своей величине: $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$.

Ответ: Такие пары сторон называют соответственными сторонами, а пары углов — соответственными углами.

6. Как называют пары сторон и пары углов равных треугольников, которые совмещаются при наложении?

7. Какие две фигуры называют равными?

Две геометрические фигуры называют равными (или конгруэнтными), если их можно совместить наложением так, что они полностью совпадут. Это значит, что равные фигуры имеют одинаковую форму и одинаковые размеры. Интуитивно это можно представить как возможность мысленно или физически переместить одну фигуру (не растягивая и не изгибая) так, чтобы она в точности наложилась на вторую.

В строгой геометрии это «перемещение» называется движением или изометрическим преобразованием — преобразованием, которое сохраняет расстояния между точками. Существует три основных вида движения на плоскости: параллельный перенос, поворот и осевая симметрия (зеркальное отражение). Таким образом, две фигуры равны, если одну можно получить из другой с помощью одного или нескольких из этих движений.

Равенство фигур $F_1$ и $F_2$ обозначается как $F_1 = F_2$ или, более точно, с помощью знака конгруэнтности: $F_1 \cong F_2$. Важным следствием равенства фигур является то, что все их соответствующие элементы также равны. Например, у равных многоугольников будут равны соответствующие стороны, углы, диагонали, а также их периметры и площади. У равных окружностей будут равны радиусы.

Ответ: Две фигуры называют равными, если они имеют одинаковую форму и размеры, то есть их можно совместить друг с другом путем наложения.

7. Какие две фигуры называют равными?

8. Что называют высотой треугольника?

Высотой треугольника называют перпендикуляр, который проведен из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. Длину этого перпендикуляра также называют высотой.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Если из вершины $B$ провести отрезок $BH$ перпендикулярно к прямой $AC$, то $BH$ будет высотой треугольника. Точка $H$ называется основанием высоты, а сторона $AC$ — основанием треугольника, к которому проведена эта высота. По определению, угол между высотой и основанием (или его продолжением) составляет $90^\circ$, то есть $\angle BHA = 90^\circ$.

У любого треугольника есть три высоты, так как можно провести по одной высоте из каждой из трех вершин. Все три прямые, на которых лежат высоты треугольника, пересекаются в одной точке. Эта точка называется ортоцентром.

Расположение высот и ортоцентра зависит от вида треугольника:

• В остроугольном треугольнике: все три высоты лежат внутри треугольника. Ортоцентр также находится внутри.
• В прямоугольном треугольнике: две из трех высот совпадают с его катетами. Третья высота проводится из вершины прямого угла к гипотенузе. Ортоцентр совпадает с вершиной прямого угла.
• В тупоугольном треугольнике: только одна высота (проведенная из вершины тупого угла) находится внутри треугольника. Две другие высоты опускаются на продолжения сторон, поэтому лежат вне треугольника. Ортоцентр также находится вне треугольника.

Ответ: Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону.

8. Что называют высотой треугольника?

9. Что называют медианой треугольника?

Медиана треугольника — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Чтобы лучше понять это определение, рассмотрим произвольный треугольник $\triangle ABC$. У этого треугольника есть три вершины ($A$, $B$, $C$) и три стороны ($AB$, $BC$, $AC$), лежащие напротив этих вершин соответственно.

• Если мы найдем середину стороны $BC$ и обозначим ее точкой $M_a$, то отрезок $AM_a$ будет являться медианой, проведенной из вершины $A$ к стороне $BC$.
• Аналогично, если $M_b$ — это середина стороны $AC$, то отрезок $BM_b$ будет медианой, проведенной из вершины $B$.
• И, соответственно, отрезок $CM_c$, где $M_c$ — середина стороны $AB$, будет медианой, проведенной из вершины $C$.

Таким образом, любой треугольник всегда имеет ровно три медианы.

Ключевые свойства медиан треугольника:

1. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка называется центроидом или центром тяжести треугольника.
2. Точка пересечения делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Например, если $O$ — точка пересечения медиан, то для медианы $AM_a$ будет справедливо равенство $AO : OM_a = 2:1$.
3. Каждая медиана делит исходный треугольник на два треугольника с равными площадями (такие треугольники называют равновеликими). Например, медиана $AM_a$ делит $\triangle ABC$ на $\triangle ABM_a$ и $\triangle ACM_a$, при этом их площади равны: $S_{\triangle ABM_a} = S_{\triangle ACM_a}$.
4. Все три медианы, пересекаясь, делят треугольник на шесть меньших треугольников, которые также являются равновеликими.

Существует формула для вычисления длины медианы, если известны длины всех сторон треугольника. Длина медианы $m_a$, проведенной к стороне $a$, в треугольнике со сторонами $a, b, c$ вычисляется так:
$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$

Ответ: Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

9. Что называют медианой треугольника?

10. Что называют биссектрисой треугольника?

Биссектрисой треугольника, проведенной из данной вершины, называют отрезок биссектрисы угла этого треугольника, который соединяет данную вершину с точкой на противоположной стороне.

Чтобы понять это определение, нужно сначала вспомнить, что такое биссектриса угла. Биссектриса угла — это луч, который выходит из вершины угла и делит его на два равных по величине угла. Когда мы говорим о биссектрисе треугольника, мы имеем в виду не весь бесконечный луч, а только его часть — отрезок, который находится внутри треугольника.

Например, если в треугольнике $ABC$ провести из вершины $B$ луч, который делит угол $∠ABC$ пополам, и этот луч пересекает противолежащую сторону $AC$ в точке $L$, то отрезок $BL$ и будет являться биссектрисой треугольника $ABC$. Для этого отрезка будет выполняться равенство: $∠ABL = ∠LBC$.

У любого треугольника можно провести три биссектрисы, по одной из каждой вершины. Все три биссектрисы треугольника всегда пересекаются в одной точке. Эта точка является центром окружности, вписанной в данный треугольник.

Ответ: Биссектрисой треугольника называют отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

10. Что называют биссектрисой треугольника?

11. Сколько у каждого треугольника высот? медиан? биссектрис?

Высот
Высота треугольника – это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону. Поскольку у треугольника три вершины, из каждой из них можно провести одну высоту к противолежащей стороне (или ее продолжению). Таким образом, у любого треугольника ровно три высоты. Их расположение зависит от вида треугольника:
- в остроугольном треугольнике все три высоты находятся внутри;
- в прямоугольном треугольнике две высоты совпадают с его катетами, а третья проходит внутри;
- в тупоугольном треугольнике одна высота находится внутри, а две другие – снаружи, так как опускаются на продолжения сторон.
Независимо от вида треугольника, у него всегда три высоты.
Ответ: 3.

Медиан
Медиана треугольника – это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. У треугольника три вершины и три стороны, следовательно, можно провести три медианы – по одной из каждой вершины к середине противоположной стороны. Все три медианы любого треугольника всегда полностью находятся внутри него и пересекаются в одной точке, которая является его центром тяжести (центроидом).
Ответ: 3.

Биссектрис
Биссектриса треугольника – это отрезок биссектрисы внутреннего угла, который соединяет вершину с точкой на противолежащей стороне. Она делит соответствующий угол на два равных угла. Так как у треугольника три вершины и, соответственно, три внутренних угла, у него есть ровно три биссектрисы. Все три биссектрисы всегда расположены внутри треугольника и пересекаются в одной точке, являющейся центром вписанной в треугольник окружности.
Ответ: 3.

11. Сколько у каждого треугольника высот? Медиан? Биссектрис?

148. Начертите треугольник:

1) остроугольный;

2) прямоугольный;

3) тупоугольный.

Проведите из каждой вершины треугольника высоту.

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону. В каждом треугольнике можно провести три высоты.

1) остроугольный

Остроугольный треугольник — это треугольник, у которого все три угла острые (меньше $90^\circ$).

Пусть дан остроугольный треугольник $ABC$.

• Высота из вершины $A$ к стороне $BC$ — это перпендикуляр $AH_1$. Основание высоты $H_1$ лежит на стороне $BC$.
• Высота из вершины $B$ к стороне $AC$ — это перпендикуляр $BH_2$. Основание высоты $H_2$ лежит на стороне $AC$.
• Высота из вершины $C$ к стороне $AB$ — это перпендикуляр $CH_3$. Основание высоты $H_3$ лежит на стороне $AB$.

В остроугольном треугольнике все три высоты пересекаются в одной точке (ортоцентре), которая находится внутри треугольника.

Ответ: В остроугольном треугольнике все три высоты лежат внутри него и пересекаются в одной точке.

2) прямоугольный

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (равен $90^\circ$). Стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, лежащая напротив прямого угла, — гипотенузой.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$.

• Высота из вершины $A$ к прямой, содержащей сторону $BC$, совпадает с катетом $AC$.
• Высота из вершины $B$ к прямой, содержащей сторону $AC$, совпадает с катетом $BC$.
• Высота из вершины $C$ к гипотенузе $AB$ — это перпендикуляр $CH$, который лежит внутри треугольника.

В прямоугольном треугольнике две высоты совпадают с его катетами. Точкой пересечения всех трех высот (ортоцентром) является вершина прямого угла.

Ответ: В прямоугольном треугольнике две высоты совпадают с катетами, а третья проведена к гипотенузе. Все три высоты пересекаются в вершине прямого угла.

3) тупоугольный

Тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол тупой (больше $90^\circ$).

Пусть дан тупоугольный треугольник $ABC$ с тупым углом при вершине $B$.

• Высота из вершины $B$ (вершины тупого угла) к стороне $AC$ — это перпендикуляр $BH_2$, который лежит внутри треугольника.
• Высота из вершины $A$ к прямой, содержащей сторону $BC$, — это перпендикуляр $AH_1$, который падает на продолжение стороны $BC$. Эта высота находится вне треугольника.
• Высота из вершины $C$ к прямой, содержащей сторону $AB$, — это перпендикуляр $CH_3$, который падает на продолжение стороны $AB$. Эта высота также находится вне треугольника.

В тупоугольном треугольнике только одна высота находится внутри него. Две другие высоты лежат вне треугольника. Прямые, содержащие все три высоты, пересекаются в одной точке (ортоцентре), которая находится вне треугольника.

Ответ: В тупоугольном треугольнике одна высота (из вершины тупого угла) лежит внутри треугольника, а две другие — вне его. Прямые, на которых лежат высоты, пересекаются в одной точке за пределами треугольника.

148. 1) Может ли одна высота треугольника принадлежать ему, а две другие — нет?

2) Может ли только одна высота треугольника совпадать с его стороной?

3) В каком треугольнике три высоты пересекаются в его вершине?

149. Перерисуйте в тетрадь рисунок 134, проведите высоту, общую для трёх изображённых треугольников. У какого из них эта высота расположена вне треугольника?

Рис. 134

На рисунке изображены три треугольника, для которых можно провести общую высоту: это $\triangle ABD$, $\triangle BCD$ и $\triangle ABC$. Из расположения точек на клетчатой бумаге видно, что точки A, D и C лежат на одной прямой. Следовательно, основания этих трёх треугольников (соответственно AD, CD и AC) лежат на одной прямой AC, а вершина B у них является общей.

Проведение общей высоты
Общей высотой для этих трёх треугольников является перпендикуляр, опущенный из их общей вершины B на прямую AC, которая содержит их основания. Обозначим эту высоту BH, где H — точка на прямой AC, такая что $BH \perp AC$. Эта высота будет единой для всех трёх указанных треугольников.

Определение расположения высоты
Чтобы выяснить, для какого из треугольников эта высота расположена снаружи, необходимо определить положение точки H (основания высоты) относительно отрезка, являющегося основанием каждого треугольника.

- Для треугольника ABC: основанием является отрезок AC. Построив перпендикуляр из точки B к прямой AC, можно увидеть, что его основание H лежит между точками A и C. Следовательно, высота BH находится внутри треугольника ABC.

- Для треугольника ABD: основанием является отрезок AD. Точка H также лежит на отрезке AD. Следовательно, высота BH находится внутри треугольника ABD.

- Для треугольника BCD: основанием является отрезок CD. Точка H не принадлежит отрезку CD, а лежит на его продолжении за точкой D. Это происходит потому, что угол при вершине D ($\angle BDC$) — тупой. Следовательно, высота BH расположена вне треугольника BCD.

Ответ: Общая высота расположена вне треугольника BCD.

149. Медиана $BD$ треугольника $ABC$ разбивает его на два треугольника, периметры которых равны 32 см и 36 см. Найдите периметр треугольника $ABC$, если $BD = 10$ см.

150. Перерисуйте в тетрадь треугольники, изображённые на рисунке 135, проведите в каждом

из них три высоты.

Рис. 135

а б в

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону. Для решения задачи необходимо для каждого треугольника построить три высоты, по одной из каждой вершины.

а

Треугольник а является остроугольным, так как все его углы острые. В остроугольном треугольнике все три высоты лежат внутри треугольника.
1. Высота из верхней вершины. Основание треугольника горизонтально, поэтому высота, опущенная на него, будет вертикальным отрезком, идущим от верхней вершины до пересечения с основанием.
2. Высота из левой нижней вершины. Проводим перпендикуляр из этой вершины к противолежащей (правой боковой) стороне.
3. Высота из правой нижней вершины. Проводим перпендикуляр из этой вершины к противолежащей (левой боковой) стороне.
Все три высоты пересекутся в одной точке внутри треугольника. Эта точка называется ортоцентром.

Ответ: Построены три высоты, все они находятся внутри треугольника и пересекаются в одной точке (ортоцентре).

б

Треугольник б является прямоугольным, так как один из его углов прямой.
1. Высоты из вершин острых углов. Стороны, образующие прямой угол, называются катетами. Высота, опущенная из вершины одного острого угла на противолежащий катет, совпадает с другим катетом. Таким образом, два катета этого треугольника являются одновременно и двумя его высотами.
2. Высота из вершины прямого угла. Третья высота проводится из вершины прямого угла перпендикулярно к гипотенузе (стороне, противолежащей прямому углу).
Все три высоты (два катета и перпендикуляр к гипотенузе) пересекаются в одной точке — вершине прямого угла.

Ответ: Построены три высоты. Две из них совпадают с катетами треугольника, а третья проведена из вершины прямого угла к гипотенузе. Ортоцентр совпадает с вершиной прямого угла.

в

Треугольник в является тупоугольным, так как один из его углов (средний в основании) тупой.
1. Высота из вершины тупого угла. Высота, проведенная из вершины тупого угла на противолежащую сторону, лежит внутри треугольника.
2. Высоты из вершин острых углов. Высоты, проведенные из двух других вершин (с острыми углами), будут лежать вне треугольника. Они опускаются на продолжения противолежащих им сторон.
• Для построения высоты из левой вершины необходимо продлить правую боковую сторону и опустить на эту прямую перпендикуляр.
• Для построения высоты из верхней вершины необходимо продлить основание и опустить на эту прямую перпендикуляр.
Продолжения всех трех высот пересекаются в одной точке (ортоцентре), которая находится за пределами треугольника.

Ответ: Построены три высоты. Одна высота находится внутри треугольника, а две другие — снаружи, и для их построения необходимо продлевать стороны. Ортоцентр (точка пересечения прямых, содержащих высоты) находится вне треугольника.

150. Медиана треугольника, периметр которого равен 60 см, разбивает его на два треугольника, периметры которых равны 36 см и 50 см. Чему равна длина этой медианы?