Номер 9, страница 56 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 7. Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника. Глава 2. Треугольники - номер 9, страница 56.

9. Что называют медианой треугольника?

Медиана треугольника — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Чтобы лучше понять это определение, рассмотрим произвольный треугольник $\triangle ABC$. У этого треугольника есть три вершины ($A$, $B$, $C$) и три стороны ($AB$, $BC$, $AC$), лежащие напротив этих вершин соответственно.

• Если мы найдем середину стороны $BC$ и обозначим ее точкой $M_a$, то отрезок $AM_a$ будет являться медианой, проведенной из вершины $A$ к стороне $BC$.
• Аналогично, если $M_b$ — это середина стороны $AC$, то отрезок $BM_b$ будет медианой, проведенной из вершины $B$.
• И, соответственно, отрезок $CM_c$, где $M_c$ — середина стороны $AB$, будет медианой, проведенной из вершины $C$.

Таким образом, любой треугольник всегда имеет ровно три медианы.

Ключевые свойства медиан треугольника:

1. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка называется центроидом или центром тяжести треугольника.
2. Точка пересечения делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Например, если $O$ — точка пересечения медиан, то для медианы $AM_a$ будет справедливо равенство $AO : OM_a = 2:1$.
3. Каждая медиана делит исходный треугольник на два треугольника с равными площадями (такие треугольники называют равновеликими). Например, медиана $AM_a$ делит $\triangle ABC$ на $\triangle ABM_a$ и $\triangle ACM_a$, при этом их площади равны: $S_{\triangle ABM_a} = S_{\triangle ACM_a}$.
4. Все три медианы, пересекаясь, делят треугольник на шесть меньших треугольников, которые также являются равновеликими.

Существует формула для вычисления длины медианы, если известны длины всех сторон треугольника. Длина медианы $m_a$, проведенной к стороне $a$, в треугольнике со сторонами $a, b, c$ вычисляется так:
$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$

Ответ: Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

9. Что называют медианой треугольника?