Номер 148, страница 56 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 7. Равные треугольники. Высота, медиана, биссектриса треугольника. Глава 2. Треугольники - номер 148, страница 56.

148. Начертите треугольник:

1) остроугольный;

2) прямоугольный;

3) тупоугольный.

Проведите из каждой вершины треугольника высоту.

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону. В каждом треугольнике можно провести три высоты.

1) остроугольный

Остроугольный треугольник — это треугольник, у которого все три угла острые (меньше $90^\circ$).

Пусть дан остроугольный треугольник $ABC$.

• Высота из вершины $A$ к стороне $BC$ — это перпендикуляр $AH_1$. Основание высоты $H_1$ лежит на стороне $BC$.
• Высота из вершины $B$ к стороне $AC$ — это перпендикуляр $BH_2$. Основание высоты $H_2$ лежит на стороне $AC$.
• Высота из вершины $C$ к стороне $AB$ — это перпендикуляр $CH_3$. Основание высоты $H_3$ лежит на стороне $AB$.

В остроугольном треугольнике все три высоты пересекаются в одной точке (ортоцентре), которая находится внутри треугольника.

Ответ: В остроугольном треугольнике все три высоты лежат внутри него и пересекаются в одной точке.

2) прямоугольный

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол прямой (равен $90^\circ$). Стороны, образующие прямой угол, называются катетами, а сторона, лежащая напротив прямого угла, — гипотенузой.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$.

• Высота из вершины $A$ к прямой, содержащей сторону $BC$, совпадает с катетом $AC$.
• Высота из вершины $B$ к прямой, содержащей сторону $AC$, совпадает с катетом $BC$.
• Высота из вершины $C$ к гипотенузе $AB$ — это перпендикуляр $CH$, который лежит внутри треугольника.

В прямоугольном треугольнике две высоты совпадают с его катетами. Точкой пересечения всех трех высот (ортоцентром) является вершина прямого угла.

Ответ: В прямоугольном треугольнике две высоты совпадают с катетами, а третья проведена к гипотенузе. Все три высоты пересекаются в вершине прямого угла.

3) тупоугольный

Тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого один угол тупой (больше $90^\circ$).

Пусть дан тупоугольный треугольник $ABC$ с тупым углом при вершине $B$.

• Высота из вершины $B$ (вершины тупого угла) к стороне $AC$ — это перпендикуляр $BH_2$, который лежит внутри треугольника.
• Высота из вершины $A$ к прямой, содержащей сторону $BC$, — это перпендикуляр $AH_1$, который падает на продолжение стороны $BC$. Эта высота находится вне треугольника.
• Высота из вершины $C$ к прямой, содержащей сторону $AB$, — это перпендикуляр $CH_3$, который падает на продолжение стороны $AB$. Эта высота также находится вне треугольника.

В тупоугольном треугольнике только одна высота находится внутри него. Две другие высоты лежат вне треугольника. Прямые, содержащие все три высоты, пересекаются в одной точке (ортоцентре), которая находится вне треугольника.

Ответ: В тупоугольном треугольнике одна высота (из вершины тупого угла) лежит внутри треугольника, а две другие — вне его. Прямые, на которых лежат высоты, пересекаются в одной точке за пределами треугольника.

148. 1) Может ли одна высота треугольника принадлежать ему, а две другие — нет?

2) Может ли только одна высота треугольника совпадать с его стороной?

3) В каком треугольнике три высоты пересекаются в его вершине?