Номер 202, страница 66 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 8. Первый и второй признаки равенства треугольников. Глава 2. Треугольники - номер 202, страница 66.

202. На рисунке 169 $BM \perp AD$, $CK \perp AD$, $BM = CK$, $AM = KD$. Докажите, что $\triangle ABD = \triangle ADC$.

Рис. 169

Для доказательства равенства треугольников, указанных в условии, разобьем решение на несколько шагов.

1. Рассмотрение треугольников $\triangle ABM$ и $\triangle DCK$

Согласно условию задачи, $BM \perp AD$ и $CK \perp AD$. Это означает, что треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle DCK$ являются прямоугольными, где $\angle BMA = 90^\circ$ и $\angle CKD = 90^\circ$.

Также из условия нам известно, что:

• катет $BM$ равен катету $CK$ ($BM = CK$);
• катет $AM$ равен катету $KD$ ($AM = KD$).

По признаку равенства прямоугольных треугольников по двум катетам, делаем вывод, что $\triangle ABM \cong \triangle DCK$.

Из равенства этих треугольников следует, что их соответствующие элементы также равны:

• гипотенузы $AB = DC$;
• углы $\angle BAM = \angle CDK$.

2. Доказательство равенства $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$. Вероятно, в условии задачи допущена опечатка в порядке вершин, и требуется доказать равенство $\triangle ABD \cong \triangle DCA$. Докажем это, используя первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Сравним элементы этих треугольников:

1. $AB = DC$ (доказано в предыдущем пункте).
2. $AD$ — общая сторона для обоих треугольников.
3. $\angle BAD = \angle CDA$. Это равенство следует из доказанного выше $\angle BAM = \angle CDK$, так как точки $M$ и $K$ лежат на прямой $AD$, поэтому луч $AM$ совпадает с лучом $AD$, а луч $DK$ совпадает с лучом $DA$.

Так как две стороны и угол между ними треугольника $\triangle ABD$ соответственно равны двум сторонам и углу между ними треугольника $\triangle DCA$, то эти треугольники равны.

Следовательно, $\triangle ABD \cong \triangle DCA$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

202. Найдите стороны равнобедренного треугольника, периметр которого равен 54 см, а основание в 4 раза меньше боковой стороны.