Номер 249, страница 75 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 9. Равнобедренный треугольник и его свойства. Глава 2. Треугольники - номер 249, страница 75.

249. Верно ли утверждение:

1) биссектриса равнобедренного треугольника является его высотой и медианой;

2) биссектриса равностороннего треугольника является его высотой и медианой;

3) если периметр треугольника в 3 раза больше одной из его сторон, то этот треугольник равносторонний?

1) биссектриса равнобедренного треугольника является его высотой и медианой

Утверждение неверно. В равнобедренном треугольнике свойством быть одновременно высотой и медианой обладает только биссектриса, проведенная к основанию (из угла между равными сторонами). Биссектрисы, проведенные из углов при основании, в общем случае не являются ни высотами, ни медианами. Например, в равнобедренном треугольнике со сторонами 5, 5 и 8, биссектриса, проведенная из угла при основании, не будет являться ни медианой, ни высотой. Ответ: Неверно

2) биссектриса равностороннего треугольника является его высотой и медианой

Утверждение верно. Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного, у которого любая из трех сторон может считаться основанием. Так как все стороны равны, то и биссектриса, проведенная из любой вершины, будет проведена к "основанию" из угла между равными сторонами. Следовательно, любая биссектриса в равностороннем треугольнике является также его высотой и медианой. Ответ: Верно

3) если периметр треугольника в 3 раза больше одной из его сторон, то этот треугольник равносторонний?

Утверждение неверно. Обозначим стороны треугольника как $a, b, c$. Периметр треугольника $P = a + b + c$. По условию, периметр в 3 раза больше одной из сторон, например, стороны $a$. То есть, $P = 3a$. Подставим это в формулу периметра: $a + b + c = 3a$. Вычтем $a$ из обеих частей уравнения: $b + c = 2a$. Это равенство не означает, что $b=a$ и $c=a$. Можно привести контрпример. Рассмотрим треугольник со сторонами $a=4, b=3, c=5$. Проверим, существует ли такой треугольник с помощью неравенства треугольника: $3+4>5$ (верно), $3+5>4$ (верно), $4+5>3$ (верно). Треугольник существует. Его периметр $P = 3+4+5 = 12$. Сравним периметр со стороной $a=4$: $P = 12$, $3a = 3 \cdot 4 = 12$. Условие $P=3a$ выполняется, но треугольник со сторонами 3, 4, 5 не является равносторонним. Ответ: Неверно

249. На прямой последовательно отметили точки $A, B, C, D, E$ и $F$ так, что $AB = BC = CD = DE = EF$. Найдите отношения $AB : CF, AB : BF, BD : AE$.