Страница 102 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

338. На каких из рисунков 240, а–г прямые m и n параллельны?

Рис. 240

Угол на прямой m: $128^\circ$. Угол на прямой n: $52^\circ$.

Угол на прямой m: $103^\circ$. Угол на прямой n: $76^\circ$.

Угол на прямой m: $26^\circ$. Угол на прямой n: $26^\circ$.

Угол на прямой m: $159^\circ$. Угол на прямой n: $156^\circ$.

Для определения параллельности прямых m и n, пересеченных секущей l, воспользуемся признаками параллельности прямых:

• Если сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны.
• Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
• Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Рассмотрим каждый рисунок отдельно.

а

На рисунке показаны внутренние односторонние углы, образованные при пересечении прямых m и n секущей l. Их величины составляют $128^\circ$ и $52^\circ$. Проверим, равна ли их сумма $180^\circ$.

Вычислим сумму углов: $128^\circ + 52^\circ = 180^\circ$.

Так как сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, прямые m и n параллельны.

Ответ: на рисунке а прямые m и n параллельны.

б

На рисунке показаны внутренние накрест лежащие углы. Их величины составляют $103^\circ$ и $76^\circ$. Прямые будут параллельны, если эти углы равны.

Сравним величины углов: $103^\circ \neq 76^\circ$.

Так как внутренние накрест лежащие углы не равны, прямые m и n не параллельны.

Ответ: на рисунке б прямые m и n не параллельны.

в

На рисунке показаны два угла величиной $26^\circ$. Найдем угол, соответственный верхнему углу $26^\circ$. Угол, вертикальный нижнему углу $26^\circ$, также равен $26^\circ$. Этот вертикальный угол и верхний угол $26^\circ$ являются соответственными.

Прямые параллельны, если соответственные углы равны. Сравним их: $26^\circ = 26^\circ$.

Так как соответственные углы равны, прямые m и n параллельны.

Ответ: на рисунке в прямые m и n параллельны.

г

На рисунке показаны внутренние односторонние углы. Их величины составляют $159^\circ$ и $156^\circ$. Проверим, равна ли их сумма $180^\circ$.

Вычислим сумму углов: $159^\circ + 156^\circ = 315^\circ$.

Так как сумма $315^\circ \neq 180^\circ$, прямые m и n не параллельны.

Ответ: на рисунке г прямые m и n не параллельны.

Итоговый ответ на вопрос "На каких из рисунков 240, а-г прямые m и n параллельны?": прямые m и n параллельны на рисунках а и в.

338. На рисунке 233 $AB \parallel CD$, $BC \parallel AD$. Докажите, что $BC = AD$.

Рис. 233

339. На рисунке 241 укажите все пары параллельных прямых.

Рис. 241

Пары параллельных прямых: $a \parallel d$, $b \parallel m$.

Для определения пар параллельных прямых воспользуемся признаком параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Чтобы сравнить все прямые, найдем для каждой из них меру одного и того же соответственного угла. В качестве такого угла выберем тот, что расположен выше прямой и справа от секущей l.

Для прямой a

Угол, равный $94^\circ$, является внутренним и расположен ниже прямой a и справа от секущей l. Искомый угол (выше прямой a и справа от l) является смежным с данным углом вдоль секущей l. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.
Следовательно, искомый угол для прямой a равен: $180^\circ - 94^\circ = 86^\circ$.

Для прямой b

Данный угол $76^\circ$ уже является искомым углом (расположен выше прямой b и справа от l).
Следовательно, его мера составляет $76^\circ$.

Для прямой c

Данный угол $114^\circ$ расположен ниже прямой c и слева от секущей l. Искомый угол (выше прямой c и справа от l) является вертикальным по отношению к данному углу.
Следовательно, искомый угол для прямой c равен $114^\circ$.

Для прямой d

Данный угол $86^\circ$ уже является искомым углом (расположен выше прямой d и справа от l).
Следовательно, его мера составляет $86^\circ$.

Для прямой m

Данный угол $104^\circ$ расположен ниже прямой m и слева от секущей l. Угол, смежный с ним на прямой m (расположенный ниже m и справа от l), равен $180^\circ - 104^\circ = 76^\circ$. Этот угол в $76^\circ$ и искомый нами угол (выше m и справа от l) являются вертикальными.
Следовательно, искомый угол для прямой m равен $76^\circ$.

Теперь сравним величины найденных соответственных углов для всех прямых:

• Прямая a: $86^\circ$
• Прямая b: $76^\circ$
• Прямая c: $114^\circ$
• Прямая d: $86^\circ$
• Прямая m: $76^\circ$

Сопоставляя полученные значения, мы видим, что соответственные углы равны у двух пар прямых:

1. Для прямых a и d соответственные углы равны $86^\circ$. Следовательно, прямые a и d параллельны ($a \parallel d$).
2. Для прямых b и m соответственные углы равны $76^\circ$. Следовательно, прямые b и m параллельны ($b \parallel m$).

Ответ: $a \parallel d$ и $b \parallel m$.

339. На рисунке 233 $BC = AD$, $BC \parallel AD$. Докажите, что $AB \parallel CD$.

Рис. 234

340. Запишите, какие прямые на рисунке 242 являются параллельными, если $ \angle 1 = 53^\circ $, $ \angle 2 = 128^\circ $, $ \angle 3 = 127^\circ $.

Рис. 242

Для того чтобы определить, какие из прямых на рисунке параллельны, необходимо последовательно проверить каждую пару прямых (a и b, b и c, a и c), используя признаки параллельности прямых.

1. Проверка параллельности прямых a и b

Рассмотрим прямые a и b, пересеченные секущей l. Углы $∠1$ и $∠2$ являются внутренними односторонними. Согласно признаку параллельности, прямые параллельны, если сумма их внутренних односторонних углов равна $180°$.

Вычислим сумму этих углов:
$∠1 + ∠2 = 53° + 128° = 181°$.

Так как $181° \ne 180°$, то прямые a и b не параллельны.

2. Проверка параллельности прямых b и c

Рассмотрим прямые b и c, пересеченные секущей l. Углы $∠2$ и $∠3$ также являются внутренними односторонними. Проверим их сумму:

$∠2 + ∠3 = 128° + 127° = 255°$.

Так как $255° \ne 180°$, то прямые b и c не параллельны.

3. Проверка параллельности прямых a и c

Рассмотрим прямые a и c, пересеченные секущей l. Для проверки их параллельности воспользуемся признаком о равенстве внутренних накрест лежащих углов. Угол $∠1$ является одним из таких углов. Найдем второй — тот, что лежит между прямыми a и c по другую сторону от секущей l. Этот угол, обозначим его $∠4$, является смежным с углом $∠3$.

Сумма смежных углов равна $180°$, следовательно:
$∠4 = 180° - ∠3 = 180° - 127° = 53°$.

Теперь сравним величины внутренних накрест лежащих углов $∠1$ и $∠4$:

$∠1 = 53°$ (по условию)
$∠4 = 53°$ (по вычислению)

Поскольку $∠1 = ∠4$, то по признаку параллельности прямых, прямые a и c параллельны ($a \parallel c$).

Ответ: параллельными являются прямые a и c.

340. На рисунке 234 $MK \parallel EF$, $ME = EF$, $\angle KMF = 70^\circ$. Найдите $\angle MEF$.

Рис. 235