Страница 109 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Каким свойством обладают накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей?

Это одно из основных свойств параллельных прямых в евклидовой геометрии. Рассмотрим две параллельные прямые, обозначим их $a$ и $b$ (что записывается как $a \parallel b$), и пересекающую их третью прямую — секущую $c$.

При пересечении секущей $c$ с прямыми $a$ и $b$ образуются различные пары углов. Накрест лежащие углы — это углы, которые находятся между параллельными прямыми (во внутренней области) и по разные стороны от секущей.

Свойство этих углов формулируется в виде теоремы: если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Например, если $\angle 1$ и $\angle 2$ являются парой накрест лежащих углов, образованных при пересечении параллельных прямых $a$ и $b$ секущей $c$, то их градусные меры будут одинаковы, то есть $\angle 1 = \angle 2$.

Это свойство является также и признаком параллельности прямых (обратная теорема): если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.

Ответ: Накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны между собой.

1. Каким свойством обладают накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей?

2. Каким свойством обладают соответственные углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей?

Основное свойство соответственных углов, которые образуются, когда секущая пересекает две параллельные прямые, заключается в том, что эти углы равны друг другу. Это является одной из ключевых теорем евклидовой геометрии, касающихся параллельных прямых.

Чтобы лучше понять, что такое соответственные углы, представим две параллельные прямые $a$ и $b$ ($a \parallel b$), пересеченные секущей $c$. В каждой точке пересечения (на прямой $a$ и на прямой $b$) образуется по четыре угла. Соответственными называются углы, которые занимают одинаковое относительное положение в каждой из этих двух групп углов. Например, верхний левый угол при пересечении секущей $c$ с прямой $a$ будет соответственным верхнему левому углу при пересечении секущей $c$ с прямой $b$. Всего образуется четыре пары таких соответственных углов.

Свойство равенства можно доказать. Пусть $\angle 1$ и $\angle 2$ — пара соответственных углов. Рассмотрим угол $\angle 3$, который является вертикальным для угла $\angle 1$. По свойству вертикальных углов, они равны: $\angle 1 = \angle 3$. В свою очередь, угол $\angle 3$ и угол $\angle 2$ являются внутренними накрест лежащими углами при параллельных прямых $a$ и $b$ и секущей $c$. Согласно теореме о накрест лежащих углах, при параллельных прямых они равны: $\angle 3 = \angle 2$. Так как $\angle 1 = \angle 3$ и $\angle 3 = \angle 2$, то по свойству транзитивности мы заключаем, что $\angle 1 = \angle 2$. Аналогичное доказательство можно провести для всех остальных пар соответственных углов.

Ответ: Соответственные углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны.

2. Каким свойством обладают соответственные углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей?

3. Чему равна сумма односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей?

3. Сумма односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, равна $180°$.

Это является одним из ключевых свойств параллельных прямых. Давайте докажем это утверждение.

Пусть даны две параллельные прямые a и b ($a \parallel b$), пересеченные секущей c. Односторонние углы — это углы, лежащие по одну сторону от секущей и между параллельными прямыми. Обозначим одну пару таких углов как $∠1$ и $∠2$.

Рассмотрим угол $∠3$, который является смежным с углом $∠2$. Сумма смежных углов всегда составляет $180°$. Следовательно, мы можем записать равенство:

$∠2 + ∠3 = 180°$

Теперь обратим внимание на углы $∠1$ и $∠3$. Эти углы являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении параллельных прямых a и b секущей c. По свойству параллельных прямых, внутренние накрест лежащие углы равны:

$∠1 = ∠3$

Теперь в первом равенстве ($∠2 + ∠3 = 180°$) мы можем заменить угол $∠3$ на равный ему угол $∠1$. В результате получим:

$∠2 + ∠1 = 180°$

Таким образом, мы доказали, что сумма односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей всегда равна $180°$.

Ответ: $180°$.

3. Чему равна сумма односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей?

4. Что называют расстоянием между двумя параллельными прямыми?

Расстоянием между двумя параллельными прямыми называется длина перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из этих прямых на другую.

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$. Если мы выберем на прямой $a$ произвольную точку $M$ и проведем из нее перпендикуляр $MH$ к прямой $b$ (где точка $H$ лежит на прямой $b$), то длина отрезка $MH$ и будет являться расстоянием между прямыми $a$ и $b$.

Важной особенностью параллельных прямых является то, что это расстояние постоянно и не зависит от выбора точки $M$ на прямой $a$. Иными словами, все точки одной параллельной прямой равноудалены от другой.

В аналитической геометрии, если прямые заданы уравнениями на координатной плоскости, для вычисления расстояния между ними можно использовать специальные формулы.

Для двух параллельных прямых, заданных общими уравнениями $Ax + By + C_1 = 0$ и $Ax + By + C_2 = 0$, расстояние $d$ между ними вычисляется по формуле:
$d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Для прямых, заданных уравнениями с угловым коэффициентом $y = kx + b_1$ и $y = kx + b_2$, формула для расстояния $d$ выглядит так:
$d = \frac{|b_2 - b_1|}{\sqrt{k^2 + 1}}$

Ответ: Расстояние между двумя параллельными прямыми — это длина перпендикуляра, опущенного из произвольной точки одной из этих прямых на другую прямую.

тепии двух параллельных прямых секущент.

4. Известно, что прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых. Обязательно ли она перпендикулярна другой прямой?

360. На рисунке 259 прямые a и b параллельны.

1) Равны ли углы $ \angle 1 $ и $ \angle 5 $? углы $ \angle 4 $ и $ \angle 6 $? углы $ \angle 2 $ и $ \angle 8 $?

2) Чему равна сумма углов $ \angle 3 $ и $ \angle 6 $?

Ответ обоснуйте.

Рис. 259

1)

Для ответа на этот вопрос воспользуемся свойствами углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей.

• Углы 1 и 5: Эти углы являются соответственными. По свойству параллельных прямых, соответственные углы равны. Следовательно, $ \angle 1 = \angle 5 $.
• Углы 4 и 6: Эти углы являются внутренними накрест лежащими. По свойству параллельных прямых, внутренние накрест лежащие углы равны. Следовательно, $ \angle 4 = \angle 6 $.
• Углы 2 и 8: Эти углы являются внешними накрест лежащими. По свойству параллельных прямых, внешние накрест лежащие углы равны. Следовательно, $ \angle 2 = \angle 8 $.

Ответ: да, все перечисленные пары углов равны.

2)

Углы 3 и 6 являются внутренними односторонними углами при пересечении параллельных прямых a и b секущей.

Согласно свойству параллельных прямых, сумма внутренних односторонних углов равна $ 180^\circ $.

Обоснование: Углы 2 и 3 — смежные, поэтому их сумма равна $ 180^\circ $, то есть $ \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ $. Углы 2 и 6 — соответственные, а так как прямые a и b параллельны, то $ \angle 2 = \angle 6 $. Если в первом равенстве заменить $ \angle 2 $ на равный ему $ \angle 6 $, мы получим $ \angle 6 + \angle 3 = 180^\circ $.

Ответ: $ 180^\circ $.

360. Найдите углы равностороннего треугольника.

361. На рисунке 260 прямые a и b параллельны. Найдите $\angle 1$, $\angle 2$ и $\angle 3$.

Рис. 260

По условию задачи даны две параллельные прямые a и b ($a \parallel b$), которые пересечены третьей прямой (секущей). Нам известен один из углов, образовавшихся при пересечении прямой b и секущей, он равен $120^\circ$. Обозначим этот угол как $\angle4$ для удобства рассуждений.

Необходимо найти углы $\angle1$, $\angle2$ и $\angle3$, которые образованы при пересечении прямой a и секущей.

$\angle1$

Угол $\angle1$ и данный угол $\angle4 = 120^\circ$ являются соответственными углами, так как они расположены одинаково относительно параллельных прямых и секущей (оба находятся сверху слева на своих перекрестках). При пересечении параллельных прямых секущей соответственные углы равны.
Следовательно, $\angle1 = \angle4$.
$\angle1 = 120^\circ$.
Ответ: $\angle1 = 120^\circ$.

$\angle2$

Углы $\angle1$ и $\angle2$ являются смежными, так как они расположены на одной прямой (секущей) и имеют общую сторону. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$.
$\angle1 + \angle2 = 180^\circ$
Подставим найденное значение $\angle1$:
$120^\circ + \angle2 = 180^\circ$
$\angle2 = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Другой способ: Углы $\angle2$ и $\angle4$ являются внутренними односторонними. Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых равна $180^\circ$.
$\angle2 + \angle4 = 180^\circ \implies \angle2 = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
Ответ: $\angle2 = 60^\circ$.

$\angle3$

Углы $\angle1$ и $\angle3$ являются вертикальными. Они образованы пересечением двух прямых (прямой a и секущей) и расположены друг напротив друга. Вертикальные углы равны.
$\angle3 = \angle1$.
Так как $\angle1 = 120^\circ$, то $\angle3 = 120^\circ$.
Другой способ: Углы $\angle3$ и $\angle4$ являются внутренними накрест лежащими углами. При пересечении параллельных прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны.
$\angle3 = \angle4 = 120^\circ$.
Ответ: $\angle3 = 120^\circ$.

361. Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника.

362. На рисунке 261 прямые $m$ и $n$ параллельны. Найдите $\angle 1$, $\angle 2$ и $\angle 3$.

Рис. 261

Нахождение ∠1

Дано, что прямые $m$ и $n$ параллельны ($m \parallel n$). На рисунке изображены две секущие, пересекающие эти прямые: одна вертикальная и одна наклонная.
Обозначим вертикальную секущую как $p$. Судя по чертежу, она перпендикулярна прямой $m$. Угол между перпендикулярными прямыми равен $90^\circ$. Угол $\angle 1$ образован прямой $m$ и секущей $p$, следовательно, его величина составляет $90^\circ$.
$\angle 1 = 90^\circ$.

Ответ: $\angle 1 = 90^\circ$.

Нахождение ∠3

Углы $\angle 1$ и $\angle 3$ являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых $m$ и $n$ секущей $p$. Так как прямые $m$ и $n$ параллельны, то накрест лежащие углы равны.
Следовательно, $\angle 3 = \angle 1 = 90^\circ$.
Также можно рассуждать иначе: поскольку секущая $p$ перпендикулярна прямой $m$, а прямая $m$ параллельна прямой $n$, то секущая $p$ перпендикулярна и прямой $n$, поэтому угол $\angle 3$ между ними равен $90^\circ$.

Ответ: $\angle 3 = 90^\circ$.

Нахождение ∠2

Теперь рассмотрим наклонную секущую, обозначим ее $k$. Найдем внутренний угол при прямой $m$ и секущей $k$, который является односторонним с углом $\angle 2$. Назовем его $\angle \alpha$.
Из рисунка видно, что $\angle \alpha$ состоит из двух смежных углов: заданного угла в $50^\circ$ и угла $\angle 1$.
$\angle \alpha = 50^\circ + \angle 1$.
Мы уже определили, что $\angle 1 = 90^\circ$, поэтому:
$\angle \alpha = 50^\circ + 90^\circ = 140^\circ$.
Углы $\angle \alpha$ и $\angle 2$ являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых $m$ и $n$ и секущей $k$ (они лежат между параллельными прямыми и по одну сторону от секущей $k$). Сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$.
$\angle \alpha + \angle 2 = 180^\circ$.
Отсюда выразим и найдем $\angle 2$:
$\angle 2 = 180^\circ - \angle \alpha = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.

Ответ: $\angle 2 = 40^\circ$.

362. Угол при основании равнобедренного треугольника равен $63^\circ$. Найдите угол при вершине этого треугольника.

363. Один из углов, образовавшихся при пересечении двух параллельных прямых третьей, равен $28^{\circ}$. Может ли какой-либо из образовавшихся при этом углов быть равным: 1) $142^{\circ}$; 2) $152^{\circ}$?

При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой (секущей) образуется 8 углов. Все эти углы можно разделить на две группы: одни равны между собой, и другие, также равные между собой. Любой угол из первой группы и любой угол из второй группы являются смежными или односторонними, а значит, их сумма равна $180^\circ$.

По условию, один из углов равен $28^\circ$. Обозначим его как $\alpha = 28^\circ$.

Следовательно, все остальные углы, образовавшиеся при пересечении, могут быть равны либо $28^\circ$ (как вертикальные, соответственные или накрест лежащие), либо они будут смежными с углом $\alpha$.

Найдем величину смежного угла, обозначив его $\beta$:

$\beta = 180^\circ - \alpha$

$\beta = 180^\circ - 28^\circ = 152^\circ$

Таким образом, все углы, образовавшиеся при данном пересечении, равны либо $28^\circ$, либо $152^\circ$.

1) 142°

Проверим, может ли какой-либо из углов быть равным $142^\circ$. Как мы установили, все образовавшиеся углы равны либо $28^\circ$, либо $152^\circ$. Значение $142^\circ$ не совпадает ни с одним из них. Следовательно, угол не может быть равен $142^\circ$.
Ответ: нет.

2) 152°

Проверим, может ли какой-либо из углов быть равным $152^\circ$. Как было вычислено выше, углы, смежные (или односторонние) с углом в $28^\circ$, равны $152^\circ$. Следовательно, такой угол существует среди образовавшихся.
Ответ: да.

363. Найдите углы при основании равнобедренного треугольника, если угол при вершине равен $104^\circ$.

364. Сумма двух накрест лежащих углов, образовавшихся при пересечении двух параллельных прямых третьей, равна $290^\circ$. Найдите эти углы.

Пусть даны две параллельные прямые, пересеченные третьей прямой (секущей). Обозначим два накрест лежащих угла, о которых идет речь в задаче, как $\angle 1$ и $\angle 2$.

Основное свойство накрест лежащих углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, заключается в том, что они равны. То есть:

$\angle 1 = \angle 2$

По условию задачи, сумма этих двух углов равна $290^\circ$:

$\angle 1 + \angle 2 = 290^\circ$

Поскольку углы равны, мы можем заменить в этом уравнении $\angle 2$ на $\angle 1$:

$\angle 1 + \angle 1 = 290^\circ$

$2 \cdot \angle 1 = 290^\circ$

Чтобы найти величину одного угла, разделим сумму на 2:

$\angle 1 = 290^\circ / 2 = 145^\circ$

Так как $\angle 1 = \angle 2$, то и второй угол также равен $145^\circ$:

$\angle 2 = 145^\circ$

Проверим: $145^\circ + 145^\circ = 290^\circ$. Условие задачи выполнено.

Ответ: каждый из этих углов равен $145^\circ$.

364. Найдите углы равнобедренного треугольника, если угол при вершине в 4 раза больше угла при основании.

365. Сумма двух соответственных углов, образовавшихся при пересечении двух параллельных прямых третьей, равна $56^\circ$. Найдите эти углы.

Пусть даны две параллельные прямые, пересеченные третьей прямой (секущей). Обозначим два соответственных угла как $\angle 1$ и $\angle 2$.

По свойству параллельных прямых, соответственные углы, образованные при пересечении их секущей, равны между собой. Таким образом, мы можем записать:
$\angle 1 = \angle 2$

Согласно условию задачи, сумма этих двух углов равна $56^\circ$:
$\angle 1 + \angle 2 = 56^\circ$

Поскольку $\angle 1 = \angle 2$, мы можем подставить $\angle 1$ вместо $\angle 2$ в уравнение суммы:
$\angle 1 + \angle 1 = 56^\circ$
$2 \cdot \angle 1 = 56^\circ$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти величину одного угла:
$\angle 1 = \frac{56^\circ}{2}$
$\angle 1 = 28^\circ$

Так как соответственные углы равны, то второй угол также равен $28^\circ$:
$\angle 2 = \angle 1 = 28^\circ$

Ответ: каждый из этих углов равен $28^\circ$.

365. Найдите углы равнобедренного треугольника, если угол при основании на $48^\circ$ меньше угла при вершине.