Номер 362, страница 109 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 15. Свойства параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 362, страница 109.

362. На рисунке 261 прямые $m$ и $n$ параллельны. Найдите $\angle 1$, $\angle 2$ и $\angle 3$.

Рис. 261

Нахождение ∠1

Дано, что прямые $m$ и $n$ параллельны ($m \parallel n$). На рисунке изображены две секущие, пересекающие эти прямые: одна вертикальная и одна наклонная.
Обозначим вертикальную секущую как $p$. Судя по чертежу, она перпендикулярна прямой $m$. Угол между перпендикулярными прямыми равен $90^\circ$. Угол $\angle 1$ образован прямой $m$ и секущей $p$, следовательно, его величина составляет $90^\circ$.
$\angle 1 = 90^\circ$.

Ответ: $\angle 1 = 90^\circ$.

Нахождение ∠3

Углы $\angle 1$ и $\angle 3$ являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых $m$ и $n$ секущей $p$. Так как прямые $m$ и $n$ параллельны, то накрест лежащие углы равны.
Следовательно, $\angle 3 = \angle 1 = 90^\circ$.
Также можно рассуждать иначе: поскольку секущая $p$ перпендикулярна прямой $m$, а прямая $m$ параллельна прямой $n$, то секущая $p$ перпендикулярна и прямой $n$, поэтому угол $\angle 3$ между ними равен $90^\circ$.

Ответ: $\angle 3 = 90^\circ$.

Нахождение ∠2

Теперь рассмотрим наклонную секущую, обозначим ее $k$. Найдем внутренний угол при прямой $m$ и секущей $k$, который является односторонним с углом $\angle 2$. Назовем его $\angle \alpha$.
Из рисунка видно, что $\angle \alpha$ состоит из двух смежных углов: заданного угла в $50^\circ$ и угла $\angle 1$.
$\angle \alpha = 50^\circ + \angle 1$.
Мы уже определили, что $\angle 1 = 90^\circ$, поэтому:
$\angle \alpha = 50^\circ + 90^\circ = 140^\circ$.
Углы $\angle \alpha$ и $\angle 2$ являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых $m$ и $n$ и секущей $k$ (они лежат между параллельными прямыми и по одну сторону от секущей $k$). Сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$.
$\angle \alpha + \angle 2 = 180^\circ$.
Отсюда выразим и найдем $\angle 2$:
$\angle 2 = 180^\circ - \angle \alpha = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.

Ответ: $\angle 2 = 40^\circ$.

362. Угол при основании равнобедренного треугольника равен $63^\circ$. Найдите угол при вершине этого треугольника.