Номер 369, страница 110 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 15. Свойства параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 369, страница 110.

369. На рисунке 265 $a \perp c$, $b \perp c$. Докажите, что $\angle 1 = \angle 2$.

Рис. 265

Шаг 1: Доказательство параллельности прямых a и b

По условию задачи дано, что прямая a перпендикулярна прямой c ($a \perp c$), и прямая b также перпендикулярна прямой c ($b \perp c$).
В евклидовой геометрии существует теорема: если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же третьей прямой, то они параллельны между собой.
На основании этой теоремы мы можем заключить, что прямая a параллельна прямой b: $a \parallel b$.

Шаг 2: Доказательство равенства углов $∠1$ и $∠2$

Теперь, когда мы установили, что прямые a и b параллельны, рассмотрим прямую m как секущую, пересекающую эти параллельные прямые.
Введем вспомогательный угол $∠3$, который является соответственным углу $∠1$ при пересечении секущей m и прямой b. Согласно свойству параллельных прямых, соответственные углы равны. Следовательно, $∠1 = ∠3$.
Далее рассмотрим углы $∠2$ и $∠3$. Они образованы при пересечении прямых b и m и являются вертикальными углами. По свойству вертикальных углов, они равны: $∠2 = ∠3$.
Таким образом, мы получили два равенства: $∠1 = ∠3$ и $∠2 = ∠3$.
Поскольку оба угла, $∠1$ и $∠2$, равны одному и тому же углу $∠3$, они должны быть равны и между собой. Отсюда следует, что $∠1 = ∠2$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $∠1 = ∠2$ доказано.

369. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $AK$ – биссектриса, $\angle BAK = 18^\circ$. Найдите углы $AKC$ и $ABC$.