Номер 373, страница 110 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 15. Свойства параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 373, страница 110.

373. Прямая, параллельная основанию $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$, пересекает его боковые стороны $AB$ и $BC$ в точках $D$ и $F$ соответственно. Докажите, что треугольник $DBF$ равнобедренный.

По условию, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. Согласно свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны. Следовательно, $\angle BAC = \angle BCA$.

Также по условию, прямая $DF$ параллельна основанию $AC$ ($DF \parallel AC$). Рассмотрим параллельные прямые $DF$ и $AC$ и секущую $AB$. Углы $\angle BDF$ и $\angle BAC$ являются соответственными, поэтому они равны: $\angle BDF = \angle BAC$.

Теперь рассмотрим те же параллельные прямые $DF$ и $AC$, но с секущей $BC$. Углы $\angle BFD$ и $\angle BCA$ также являются соответственными, а значит, они тоже равны: $\angle BFD = \angle BCA$.

Мы получили следующую систему равенств:
1) $\angle BAC = \angle BCA$ (как углы при основании равнобедренного треугольника)
2) $\angle BDF = \angle BAC$ (как соответственные углы)
3) $\angle BFD = \angle BCA$ (как соответственные углы)
Из этих равенств следует, что $\angle BDF = \angle BFD$.

В треугольнике $DBF$ два угла ($\angle BDF$ и $\angle BFD$) равны. По признаку равнобедренного треугольника, если два угла треугольника равны, то этот треугольник является равнобедренным. Стороны $DB$ и $FB$, лежащие напротив равных углов, являются равными боковыми сторонами.

Ответ: Треугольник $DBF$ является равнобедренным, что и требовалось доказать.

373. В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $BF$. Найдите угол $C$, если $\angle A = 39^\circ$, $\angle AFB = 78^\circ$.