Номер 378, страница 111 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 15. Свойства параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 378, страница 111.

378. На рисунке 267 $AB \parallel CD$, $BC \parallel AD$. Докажите, что $BC = AD$.

Рис. 266

По условию задачи дан четырехугольник ABCD, в котором противолежащие стороны попарно параллельны: $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$. Такой четырехугольник по определению является параллелограммом. Требуется доказать, что длины противолежащих сторон $BC$ и $AD$ равны.

Доказательство:

1. Проведем диагональ AC. Эта диагональ делит четырехугольник ABCD на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

2. Сравним эти два треугольника.

Во-первых, сторона AC является общей для обоих треугольников.

Во-вторых, поскольку $BC \parallel AD$ (по условию), а AC — секущая, то накрест лежащие углы $\angle BCA$ и $\angle DAC$ равны.

В-третьих, поскольку $AB \parallel CD$ (по условию), а AC — секущая, то накрест лежащие углы $\angle BAC$ и $\angle DCA$ также равны.

3. Таким образом, треугольник $\triangle ABC$ равен треугольнику $\triangle CDA$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

4. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Сторона BC в $\triangle ABC$ лежит напротив угла $\angle BAC$. Сторона AD в $\triangle CDA$ лежит напротив угла $\angle DCA$. Так как $\angle BAC = \angle DCA$, то и соответствующие стороны BC и AD равны.

Следовательно, $BC = AD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. В четырехугольнике, у которого противолежащие стороны попарно параллельны ($AB \parallel CD$, $BC \parallel AD$), длины противолежащих сторон равны ($BC = AD$).

378. Может ли внешний угол треугольника быть меньше смежного с ним угла треугольника? В случае положительного ответа укажите вид треугольника.