Номер 382, страница 111 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 15. Свойства параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 382, страница 111.

382. Прямая, проведённая через вершину $A$ треугольника $\triangle ABC$ параллельно его противолежащей стороне, образует со стороной $AC$ угол, равный углу $\angle BAC$. Докажите, что данный треугольник равнобедренный.

Пусть $m$ — прямая, которая проходит через вершину $A$ треугольника $ABC$ и параллельна его противолежащей стороне $BC$. Таким образом, по определению, $m \parallel BC$.

По условию задачи, угол, который образует прямая $m$ со стороной $AC$, равен углу $BAC$. Для ясности, давайте назовем этот угол $\alpha$. Угол $\alpha$ является одним из углов, образованных пересечением прямой $m$ и прямой, содержащей сторону $AC$.

Рассмотрим параллельные прямые $m$ и $BC$ и секущую $AC$. Угол $\angle ACB$ и один из углов, образованных прямой $m$ и секущей $AC$, являются внутренними накрест лежащими. Этот угол и есть $\alpha$, так как он находится "внутри" параллельных прямых и по разные стороны от секущей. Из свойства параллельных прямых следует, что внутренние накрест лежащие углы равны:

$\alpha = \angle ACB$

По условию задачи мы знаем, что:

$\alpha = \angle BAC$

Сопоставляя эти два равенства, мы приходим к выводу, что:

$\angle BAC = \angle ACB$

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. В этом треугольнике два угла оказались равны: угол при вершине $A$ ($\angle BAC$) и угол при вершине $C$ ($\angle ACB$).

Согласно признаку равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны, то он является равнобедренным. При этом стороны, лежащие напротив равных углов, также равны.

В треугольнике $ABC$:

• Сторона $BC$ лежит напротив угла $\angle BAC$.
• Сторона $AB$ лежит напротив угла $\angle ACB$.

Поскольку $\angle BAC = \angle ACB$, то и противолежащие им стороны равны:

$AB = BC$

Так как в треугольнике $ABC$ две стороны равны, он является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Из условия задачи и свойств параллельных прямых следует, что углы при основании $AC$ треугольника $ABC$ равны ($\angle BAC = \angle ACB$). По признаку равнобедренного треугольника, это означает, что боковые стороны равны ($AB = BC$), следовательно, треугольник является равнобедренным.

382. Один из внешних углов треугольника равен $98^\circ$. Найдите углы треугольника, не смежные с ним, если один из этих углов в 6 раз меньше другого.