Номер 377, страница 111 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 15. Свойства параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 377, страница 111.

377. Отрезки MK и DE пересекаются в точке F, $DK \parallel ME$, $DK = ME$.

Докажите, что $\triangle MEF = \triangle DKF$.

Рассмотрим треугольники $ \Delta MEF $ и $ \Delta DKF $. Для того чтобы доказать их равенство, воспользуемся признаком равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).

Нам дано:

1. Отрезки $ MK $ и $ DE $ пересекаются в точке $ F $.

2. Прямые $ DK $ и $ ME $ параллельны: $ DK \parallel ME $.

3. Отрезки $ DK $ и $ ME $ равны: $ DK = ME $.

Доказательство:

1. Сторона $ ME $ в треугольнике $ \Delta MEF $ равна стороне $ DK $ в треугольнике $ \Delta DKF $ по условию: $ ME = DK $.

2. Так как прямые $ ME $ и $ DK $ параллельны, а отрезок $ MK $ является их секущей, то накрест лежащие углы равны. Следовательно, угол $ \angle FME $ (или $ \angle EMK $) равен углу $ \angle FKD $ (или $ \angle DKM $): $ \angle FME = \angle FKD $. Эти углы прилежат к сторонам $ ME $ и $ DK $ соответственно.

3. Аналогично, так как прямые $ ME $ и $ DK $ параллельны, а отрезок $ DE $ является их секущей, то накрест лежащие углы также равны. Следовательно, угол $ \angle MEF $ (или $ \angle MED $) равен углу $ \angle KDF $ (или $ \angle KDE $): $ \angle MEF = \angle KDF $. Эти углы также прилежат к сторонам $ ME $ и $ DK $.

Таким образом, мы установили, что сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($ \Delta MEF $) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($ \Delta DKF $).

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников, $ \Delta MEF = \Delta DKF $. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ \Delta MEF $ и $ \Delta DKF $ доказано.

377. Один из внешних углов треугольника равен $75^\circ$. Чему равны:

1) угол треугольника при этой вершине;

2) сумма двух углов треугольника, не смежных с ним?