Номер 380, страница 111 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 15. Свойства параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 380, страница 111.

380. На рисунке 268 $MK \parallel EF$, $ME = EF$, $\angle KMF = 70^\circ$. Найдите угол $MEF$.

Рис. 268

Согласно условию задачи, прямые $MK$ и $EF$ параллельны ($MK \parallel EF$), а прямая $MF$ является их секущей. Углы $\angle KMF$ и $\angle EFM$ — это внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых секущей. По свойству параллельных прямых, такие углы равны. Так как дано, что $\angle KMF = 70^{\circ}$, то и $\angle EFM = 70^{\circ}$.

Рассмотрим треугольник $\triangle MEF$. В условии сказано, что $ME = EF$. Это означает, что $\triangle MEF$ — равнобедренный с основанием $MF$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $\angle EMF = \angle EFM$. Поскольку мы уже выяснили, что $\angle EFM = 70^{\circ}$, то и $\angle EMF$ также равен $70^{\circ}$.

Сумма внутренних углов любого треугольника составляет $180^{\circ}$. Для $\triangle MEF$ справедливо равенство: $\angle MEF + \angle EFM + \angle EMF = 180^{\circ}$. Подставим известные нам значения углов: $\angle MEF + 70^{\circ} + 70^{\circ} = 180^{\circ}$. Упростив, получаем $\angle MEF + 140^{\circ} = 180^{\circ}$. Отсюда находим искомый угол: $\angle MEF = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}$.

Ответ: $40^{\circ}$.

380. Один из внешних углов треугольника равен $136^\circ$, а один из углов треугольника, не смежный с ним, – $61^\circ$. Найдите второй угол треугольника, не смежный с данным внешним.