Номер 384, страница 112 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 15. Свойства параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 384, страница 112.

384. Докажите, что биссектрисы пары соответственных углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, параллельны.

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$ ($a \parallel b$), которые пересекает секущая $c$. При пересечении образуются восемь углов. Возьмем пару соответственных углов, назовем их $\angle 1$ и $\angle 2$.

По свойству параллельных прямых, соответственные углы равны. Следовательно, $\angle 1 = \angle 2$.

Проведем биссектрисы $d_1$ и $d_2$ для углов $\angle 1$ и $\angle 2$ соответственно. По определению, биссектриса делит угол на два равных угла.

Рассмотрим углы, которые образуют эти биссектрисы с секущей $c$. Пусть биссектриса $d_1$ образует с секущей $c$ угол $\angle 3$, а биссектриса $d_2$ образует с секущей $c$ угол $\angle 4$. Эти углы являются "половинками" исходных углов:
$\angle 3 = \frac{1}{2} \angle 1$
$\angle 4 = \frac{1}{2} \angle 2$

Так как мы установили, что $\angle 1 = \angle 2$, то и половины этих углов также равны между собой:
$\frac{1}{2} \angle 1 = \frac{1}{2} \angle 2$
Это означает, что $\angle 3 = \angle 4$.

Углы $\angle 3$ и $\angle 4$ также являются соответственными, но уже для прямых $d_1$ и $d_2$ при их пересечении секущей $c$.

Согласно признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то такие прямые параллельны. Поскольку мы доказали, что $\angle 3 = \angle 4$, мы можем утверждать, что прямые $d_1$ и $d_2$ (биссектрисы) параллельны ($d_1 \parallel d_2$).

Таким образом, биссектрисы пары соответственных углов параллельны, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

384. Сравните углы треугольника $ABC$, если:

1) $AB > AC > BC;$

2) $AB = BC, BC > AC.$