Номер 390, страница 112 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 15. Свойства параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 390, страница 112.

390. Через вершину $B$ треугольника $ABC$ провели прямую, параллельную его биссектрисе $AM$. Эта прямая пересекает прямую $AC$ в точке $K$. Докажите, что $\Delta BAK$ равнобедренный.

Для доказательства того, что треугольник $ABK$ является равнобедренным, необходимо показать, что у него равны две стороны или два угла.

Доказательство:

1. По условию, $AM$ — биссектриса угла $\angle BAC$. Это означает, что она делит угол на два равных угла:
$\angle BAM = \angle MAC$. (1)

2. Также по условию, прямая, проходящая через точку $B$, параллельна $AM$. Эта прямая пересекает $AC$ в точке $K$, следовательно, $BK \parallel AM$.

3. Рассмотрим параллельные прямые $BK$ и $AM$ и секущую $AB$. Углы $\angle ABK$ и $\angle BAM$ являются внутренними накрест лежащими. Следовательно, они равны:
$\angle ABK = \angle BAM$. (2)

4. Теперь рассмотрим те же параллельные прямые $BK$ и $AM$, но в качестве секущей возьмем прямую $AK$ (которая является продолжением $AC$). Углы $\angle BKA$ и $\angle MAC$ являются соответственными. Следовательно, они также равны:
$\angle BKA = \angle MAC$. (3)

5. Сопоставим равенства (1), (2) и (3):
Из (1) имеем $\angle BAM = \angle MAC$.
Из (2) и (3) следует, что $\angle ABK = \angle BAM$ и $\angle BKA = \angle MAC$.
Таким образом, мы можем заключить, что $\angle ABK = \angle BKA$.

6. В треугольнике $\triangle ABK$ два угла оказались равны: $\angle ABK = \angle BKA$. Согласно признаку равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны, то он является равнобедренным. Стороны, противолежащие равным углам, равны, то есть $AB = AK$.

Следовательно, треугольник $\triangle ABK$ является равнобедренным, что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник $\triangle ABK$ является равнобедренным, так как углы при его основании $BK$ равны ($\angle ABK = \angle BKA$), что доказывается с использованием свойств параллельных прямых и биссектрисы угла.

390. Периметр треугольника равен 30 см. Может ли одна из его сторон быть равной:

1) 20 см;

2) 15 см?