Номер 387, страница 112 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 15. Свойства параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 387, страница 112.

387. Треугольник $ABC$ – равнобедренный с основанием $AC$. Через произвольную точку $M$ его биссектрисы $BD$ проведены прямые, параллельные его сторонам $AB$ и $BC$ и пересекающие отрезок $AC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Докажите, что $DE = DF$.

Доказательство:

По условию, треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. Это означает, что его боковые стороны равны ($AB = BC$), а также что биссектриса $BD$, проведенная из вершины $B$ к основанию, является одновременно медианой и высотой.

1. Поскольку $BD$ является медианой, точка $D$ — середина отрезка $AC$. Следовательно, $AD = DC$.

2. Рассмотрим треугольник $ABD$. По условию, через точку $M$, лежащую на $BD$, проведена прямая, параллельная стороне $AB$, которая пересекает $AC$ в точке $E$. Таким образом, отрезок $ME$ параллелен стороне $AB$ ($ME \parallel AB$).

Применим к треугольнику $ABD$ теорему о пропорциональных отрезках (следствие из теоремы Фалеса). Так как прямая $ME$ параллельна стороне $AB$ и пересекает две другие стороны треугольника ($AD$ и $BD$), она делит их в одинаковом отношении. Рассматривая отношение отрезков от вершины $D$, получаем:

$\frac{DE}{AD} = \frac{DM}{BD}$

3. Теперь рассмотрим треугольник $CBD$. По условию, через ту же точку $M$ проведена прямая, параллельная стороне $BC$, которая пересекает $AC$ в точке $F$. Таким образом, отрезок $MF$ параллелен стороне $BC$ ($MF \parallel BC$).

Аналогично применим теорему о пропорциональных отрезках к треугольнику $CBD$:

$\frac{DF}{DC} = \frac{DM}{BD}$

4. Сравнивая выражения, полученные в пунктах 2 и 3, мы видим, что их правые части равны. Следовательно, равны и левые части:

$\frac{DE}{AD} = \frac{DF}{DC}$

5. Из пункта 1 мы знаем, что $AD = DC$. Подставим это равенство в полученную пропорцию:

$\frac{DE}{AD} = \frac{DF}{AD}$

Поскольку $AD$ — это длина половины основания, $AD \neq 0$. Мы можем умножить обе части равенства на $AD$, в результате чего получим:

$DE = DF$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $DE = DF$ доказано.

387. Докажите, что если два угла одного треугольника равны соответственно двум углам другого треугольника, то и третьи углы этих треугольников равны.