Страница 112 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

383. Докажите, что биссектрисы пары накрест лежащих углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, параллельны.

Дано:
Прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$).
Прямая $c$ — секущая, пересекающая прямые $a$ и $b$.
$\angle 1$ и $\angle 2$ — пара накрест лежащих углов, образованных при пересечении прямых $a$ и $b$ секущей $c$.
Прямая $d_1$ — биссектриса угла $\angle 1$.
Прямая $d_2$ — биссектриса угла $\angle 2$.

Доказать:
Биссектрисы $d_1$ и $d_2$ параллельны ($d_1 \parallel d_2$).

Доказательство:
1. Согласно свойству параллельных прямых, накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны. Следовательно, $\angle 1 = \angle 2$.
2. По определению, биссектриса делит угол пополам. Так как $d_1$ является биссектрисой угла $\angle 1$, она образует с секущей $c$ угол, равный половине угла $\angle 1$. Обозначим этот угол $\angle 3$. Таким образом, $\angle 3 = \frac{1}{2}\angle 1$.
3. Аналогично, так как $d_2$ является биссектрисой угла $\angle 2$, она образует с секущей $c$ угол, равный половине угла $\angle 2$. Обозначим этот угол $\angle 4$. Таким образом, $\angle 4 = \frac{1}{2}\angle 2$.
4. Поскольку из пункта 1 мы знаем, что $\angle 1 = \angle 2$, то и их половины равны. Значит, $\frac{1}{2}\angle 1 = \frac{1}{2}\angle 2$, из чего следует, что $\angle 3 = \angle 4$.
5. Углы $\angle 3$ и $\angle 4$ являются накрест лежащими для прямых $d_1$ и $d_2$ при секущей $c$.
6. По признаку параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Так как мы установили, что $\angle 3 = \angle 4$, мы можем заключить, что прямые $d_1$ и $d_2$ параллельны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Исходные накрест лежащие углы равны, так как они образованы параллельными прямыми и секущей. Биссектрисы делят эти равные углы на равные половины. Эти половины сами являются накрест лежащими углами для биссектрис при той же секущей. Так как эти новые накрест лежащие углы равны, то, по признаку параллельности прямых, биссектрисы параллельны.

383. Найдите углы равнобедренного треугольника, если внешний угол при его вершине равен $38^\circ$.

384. Докажите, что биссектрисы пары соответственных углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, параллельны.

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$ ($a \parallel b$), которые пересекает секущая $c$. При пересечении образуются восемь углов. Возьмем пару соответственных углов, назовем их $\angle 1$ и $\angle 2$.

По свойству параллельных прямых, соответственные углы равны. Следовательно, $\angle 1 = \angle 2$.

Проведем биссектрисы $d_1$ и $d_2$ для углов $\angle 1$ и $\angle 2$ соответственно. По определению, биссектриса делит угол на два равных угла.

Рассмотрим углы, которые образуют эти биссектрисы с секущей $c$. Пусть биссектриса $d_1$ образует с секущей $c$ угол $\angle 3$, а биссектриса $d_2$ образует с секущей $c$ угол $\angle 4$. Эти углы являются "половинками" исходных углов:
$\angle 3 = \frac{1}{2} \angle 1$
$\angle 4 = \frac{1}{2} \angle 2$

Так как мы установили, что $\angle 1 = \angle 2$, то и половины этих углов также равны между собой:
$\frac{1}{2} \angle 1 = \frac{1}{2} \angle 2$
Это означает, что $\angle 3 = \angle 4$.

Углы $\angle 3$ и $\angle 4$ также являются соответственными, но уже для прямых $d_1$ и $d_2$ при их пересечении секущей $c$.

Согласно признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то такие прямые параллельны. Поскольку мы доказали, что $\angle 3 = \angle 4$, мы можем утверждать, что прямые $d_1$ и $d_2$ (биссектрисы) параллельны ($d_1 \parallel d_2$).

Таким образом, биссектрисы пары соответственных углов параллельны, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

384. Сравните углы треугольника $ABC$, если:

1) $AB > AC > BC;$

2) $AB = BC, BC > AC.$

385. На рисунке 270 $BC \parallel MK$, $BK = KE$, $CK = KD$. Докажите, что $AD \parallel MK$.

Рис. 270

Рассмотрим треугольники $\triangle BCK$ и $\triangle EDK$.
В этих треугольниках:

• $BK = KE$ (по условию)
• $CK = KD$ (по условию)
• $\angle BKC = \angle EKD$ (как вертикальные углы)

Следовательно, $\triangle BCK \cong \triangle EDK$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов: $\angle BCK = \angle EDK$.
Данные углы являются накрест лежащими при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $CD$. Так как накрест лежащие углы равны, то прямые $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$).

По условию задачи нам также известно, что $BC \parallel MK$.
Таким образом, мы имеем, что $AD \parallel BC$ и $MK \parallel BC$.
Согласно свойству параллельных прямых, если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. Отсюда следует, что $AD \parallel MK$, что и требовалось доказать.

Ответ: Параллельность прямых $AD$ и $MK$ доказана.

385. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle A = 34^\circ$, $\angle B = 28^\circ$. Сравните стороны $AB$, $BC$ и $AC$.

386. На рисунке 271 $AB = AC$, $AF = FE$, $AB \parallel EF$. Докажите, что $AE \perp BC$.

Рис. 271

Доказательство:

1. Рассмотрим $\triangle AFE$. По условию задачи дано, что $AF = FE$. Это означает, что треугольник $AFE$ является равнобедренным с основанием $AE$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $\angle FAE = \angle FEA$.

2. По условию также дано, что прямые $AB$ и $EF$ параллельны ($AB \parallel EF$). Прямая $AE$ является секущей для этих параллельных прямых. При пересечении параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны. Таким образом, $\angle BAE = \angle FEA$.

3. Из двух полученных равенств ($\angle FAE = \angle FEA$ и $\angle BAE = \angle FEA$) следует, что $\angle FAE = \angle BAE$.

4. Из рисунка видно, что точка $F$ лежит на стороне $AC$. Следовательно, угол $\angle FAE$ совпадает с углом $\angle CAE$. Таким образом, мы получаем, что $\angle CAE = \angle BAE$. Это по определению означает, что луч $AE$ является биссектрисой угла $BAC$.

5. Теперь рассмотрим $\triangle ABC$. По условию $AB = AC$, следовательно, $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $BC$.

6. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине, проведенная к основанию, является также и высотой. Поскольку $AE$ является биссектрисой угла $BAC$, она также является высотой, проведенной к основанию $BC$.

7. По определению высоты, $AE$ перпендикулярна $BC$, то есть $AE \perp BC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

386. Сравните стороны треугольника ABC, если:

1) $ \angle C > \angle A > \angle B; $

2) $ \angle B > \angle C, \angle A = \angle B. $

387. Треугольник $ABC$ – равнобедренный с основанием $AC$. Через произвольную точку $M$ его биссектрисы $BD$ проведены прямые, параллельные его сторонам $AB$ и $BC$ и пересекающие отрезок $AC$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Докажите, что $DE = DF$.

Доказательство:

По условию, треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$. Это означает, что его боковые стороны равны ($AB = BC$), а также что биссектриса $BD$, проведенная из вершины $B$ к основанию, является одновременно медианой и высотой.

1. Поскольку $BD$ является медианой, точка $D$ — середина отрезка $AC$. Следовательно, $AD = DC$.

2. Рассмотрим треугольник $ABD$. По условию, через точку $M$, лежащую на $BD$, проведена прямая, параллельная стороне $AB$, которая пересекает $AC$ в точке $E$. Таким образом, отрезок $ME$ параллелен стороне $AB$ ($ME \parallel AB$).

Применим к треугольнику $ABD$ теорему о пропорциональных отрезках (следствие из теоремы Фалеса). Так как прямая $ME$ параллельна стороне $AB$ и пересекает две другие стороны треугольника ($AD$ и $BD$), она делит их в одинаковом отношении. Рассматривая отношение отрезков от вершины $D$, получаем:

$\frac{DE}{AD} = \frac{DM}{BD}$

3. Теперь рассмотрим треугольник $CBD$. По условию, через ту же точку $M$ проведена прямая, параллельная стороне $BC$, которая пересекает $AC$ в точке $F$. Таким образом, отрезок $MF$ параллелен стороне $BC$ ($MF \parallel BC$).

Аналогично применим теорему о пропорциональных отрезках к треугольнику $CBD$:

$\frac{DF}{DC} = \frac{DM}{BD}$

4. Сравнивая выражения, полученные в пунктах 2 и 3, мы видим, что их правые части равны. Следовательно, равны и левые части:

$\frac{DE}{AD} = \frac{DF}{DC}$

5. Из пункта 1 мы знаем, что $AD = DC$. Подставим это равенство в полученную пропорцию:

$\frac{DE}{AD} = \frac{DF}{AD}$

Поскольку $AD$ — это длина половины основания, $AD \neq 0$. Мы можем умножить обе части равенства на $AD$, в результате чего получим:

$DE = DF$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $DE = DF$ доказано.

387. Докажите, что если два угла одного треугольника равны соответственно двум углам другого треугольника, то и третьи углы этих треугольников равны.

388. На рисунке 272 $AB \parallel DE$. Докажите, что $\angle BCD = \angle ABC + \angle CDE$.

Рис. 272

Дано:
На рисунке 272 заданы прямые $AB$ и $DE$ такие, что $AB \parallel DE$.

Доказать:
$\angle BCD = \angle ABC + \angle CDE$

Доказательство:

1. Проведем через точку C прямую CK, параллельную прямой AB ($CK \parallel AB$).
2. Поскольку по условию задачи $AB \parallel DE$, а по нашему построению $CK \parallel AB$, то из этого следует, что прямая CK также параллельна прямой DE ($CK \parallel DE$). Это следует из аксиомы о параллельных прямых (или ее следствия): если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.
3. Проведенный луч CK делит угол $\angle BCD$ на два угла: $\angle BCK$ и $\angle KCD$. Таким образом, мы можем записать: $\angle BCD = \angle BCK + \angle KCD$.
4. Рассмотрим параллельные прямые AB и CK и секущую BC. Углы $\angle ABC$ и $\angle BCK$ являются внутренними накрест лежащими углами. По свойству параллельных прямых, такие углы равны. Следовательно, $\angle ABC = \angle BCK$.
5. Теперь рассмотрим параллельные прямые CK и DE и секущую CD. Углы $\angle KCD$ и $\angle CDE$ также являются внутренними накрест лежащими углами. Следовательно, они равны: $\angle KCD = \angle CDE$.
6. Подставим равенства, полученные в пунктах 4 и 5, в формулу из пункта 3:
   Вместо $\angle BCK$ подставим равный ему угол $\angle ABC$.
   Вместо $\angle KCD$ подставим равный ему угол $\angle CDE$.
   Получаем: $\angle BCD = \angle ABC + \angle CDE$.

Утверждение доказано.

Ответ: Было доказано, что $\angle BCD = \angle ABC + \angle CDE$.

388. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из его внешних углов равен:

Сколько решений имеет задача?

389. На рисунке 273 $AB \parallel DE$, $\angle ABC = 120^\circ$, $\angle CDE = 150^\circ$. Докажите, что $BC \perp CD$.

Рис. 273

Для доказательства проведем через точку C вспомогательную прямую CK так, чтобы она была параллельна прямой AB ($CK \parallel AB$).
Согласно условию, прямая $AB \parallel DE$. Так как $CK \parallel AB$ и $AB \parallel DE$, то по свойству транзитивности параллельных прямых, прямая $CK \parallel DE$.

Рассмотрим параллельные прямые AB и CK, пересеченные секущей BC. Углы $\angle ABC$ и $\angle BCK$ являются внутренними односторонними углами. Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых равна $180^\circ$.
Следовательно, $\angle ABC + \angle BCK = 180^\circ$.
Зная, что $\angle ABC = 120^\circ$, можем найти $\angle BCK$:
$\angle BCK = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Теперь рассмотрим параллельные прямые DE и CK, пересеченные секущей CD. Углы $\angle CDE$ и $\angle DCK$ также являются внутренними односторонними углами.
Следовательно, $\angle CDE + \angle DCK = 180^\circ$.
Зная, что $\angle CDE = 150^\circ$, можем найти $\angle DCK$:
$\angle DCK = 180^\circ - \angle CDE = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

Угол $\angle BCD$ состоит из двух углов, $\angle BCK$ и $\angle DCK$, так как луч CK проходит между сторонами угла $\angle BCD$.
Найдем величину угла $\angle BCD$ как сумму этих углов:
$\angle BCD = \angle BCK + \angle DCK = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ$.

Поскольку угол $\angle BCD$ равен $90^\circ$, то по определению перпендикулярности, прямая BC перпендикулярна прямой CD ($BC \perp CD$), что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, так как вычисленный угол $\angle BCD$ равен $90^\circ$, что означает $BC \perp CD$.

389. Внешний угол равнобедренного треугольника равен $130^\circ$. Найдите углы треугольника. Сколько решений имеет задача?

390. Через вершину $B$ треугольника $ABC$ провели прямую, параллельную его биссектрисе $AM$. Эта прямая пересекает прямую $AC$ в точке $K$. Докажите, что $\Delta BAK$ равнобедренный.

Для доказательства того, что треугольник $ABK$ является равнобедренным, необходимо показать, что у него равны две стороны или два угла.

Доказательство:

1. По условию, $AM$ — биссектриса угла $\angle BAC$. Это означает, что она делит угол на два равных угла:
$\angle BAM = \angle MAC$. (1)

2. Также по условию, прямая, проходящая через точку $B$, параллельна $AM$. Эта прямая пересекает $AC$ в точке $K$, следовательно, $BK \parallel AM$.

3. Рассмотрим параллельные прямые $BK$ и $AM$ и секущую $AB$. Углы $\angle ABK$ и $\angle BAM$ являются внутренними накрест лежащими. Следовательно, они равны:
$\angle ABK = \angle BAM$. (2)

4. Теперь рассмотрим те же параллельные прямые $BK$ и $AM$, но в качестве секущей возьмем прямую $AK$ (которая является продолжением $AC$). Углы $\angle BKA$ и $\angle MAC$ являются соответственными. Следовательно, они также равны:
$\angle BKA = \angle MAC$. (3)

5. Сопоставим равенства (1), (2) и (3):
Из (1) имеем $\angle BAM = \angle MAC$.
Из (2) и (3) следует, что $\angle ABK = \angle BAM$ и $\angle BKA = \angle MAC$.
Таким образом, мы можем заключить, что $\angle ABK = \angle BKA$.

6. В треугольнике $\triangle ABK$ два угла оказались равны: $\angle ABK = \angle BKA$. Согласно признаку равнобедренного треугольника, если два угла в треугольнике равны, то он является равнобедренным. Стороны, противолежащие равным углам, равны, то есть $AB = AK$.

Следовательно, треугольник $\triangle ABK$ является равнобедренным, что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник $\triangle ABK$ является равнобедренным, так как углы при его основании $BK$ равны ($\angle ABK = \angle BKA$), что доказывается с использованием свойств параллельных прямых и биссектрисы угла.

390. Периметр треугольника равен 30 см. Может ли одна из его сторон быть равной:

1) 20 см;

2) 15 см?