Номер 383, страница 112 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 15. Свойства параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 383, страница 112.

383. Докажите, что биссектрисы пары накрест лежащих углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, параллельны.

Дано:
Прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$).
Прямая $c$ — секущая, пересекающая прямые $a$ и $b$.
$\angle 1$ и $\angle 2$ — пара накрест лежащих углов, образованных при пересечении прямых $a$ и $b$ секущей $c$.
Прямая $d_1$ — биссектриса угла $\angle 1$.
Прямая $d_2$ — биссектриса угла $\angle 2$.

Доказать:
Биссектрисы $d_1$ и $d_2$ параллельны ($d_1 \parallel d_2$).

Доказательство:
1. Согласно свойству параллельных прямых, накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны. Следовательно, $\angle 1 = \angle 2$.
2. По определению, биссектриса делит угол пополам. Так как $d_1$ является биссектрисой угла $\angle 1$, она образует с секущей $c$ угол, равный половине угла $\angle 1$. Обозначим этот угол $\angle 3$. Таким образом, $\angle 3 = \frac{1}{2}\angle 1$.
3. Аналогично, так как $d_2$ является биссектрисой угла $\angle 2$, она образует с секущей $c$ угол, равный половине угла $\angle 2$. Обозначим этот угол $\angle 4$. Таким образом, $\angle 4 = \frac{1}{2}\angle 2$.
4. Поскольку из пункта 1 мы знаем, что $\angle 1 = \angle 2$, то и их половины равны. Значит, $\frac{1}{2}\angle 1 = \frac{1}{2}\angle 2$, из чего следует, что $\angle 3 = \angle 4$.
5. Углы $\angle 3$ и $\angle 4$ являются накрест лежащими для прямых $d_1$ и $d_2$ при секущей $c$.
6. По признаку параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Так как мы установили, что $\angle 3 = \angle 4$, мы можем заключить, что прямые $d_1$ и $d_2$ параллельны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Исходные накрест лежащие углы равны, так как они образованы параллельными прямыми и секущей. Биссектрисы делят эти равные углы на равные половины. Эти половины сами являются накрест лежащими углами для биссектрис при той же секущей. Так как эти новые накрест лежащие углы равны, то, по признаку параллельности прямых, биссектрисы параллельны.

383. Найдите углы равнобедренного треугольника, если внешний угол при его вершине равен $38^\circ$.