Номер 386, страница 112 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 15. Свойства параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 386, страница 112.

386. На рисунке 271 $AB = AC$, $AF = FE$, $AB \parallel EF$. Докажите, что $AE \perp BC$.

Рис. 271

Доказательство:

1. Рассмотрим $\triangle AFE$. По условию задачи дано, что $AF = FE$. Это означает, что треугольник $AFE$ является равнобедренным с основанием $AE$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $\angle FAE = \angle FEA$.

2. По условию также дано, что прямые $AB$ и $EF$ параллельны ($AB \parallel EF$). Прямая $AE$ является секущей для этих параллельных прямых. При пересечении параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны. Таким образом, $\angle BAE = \angle FEA$.

3. Из двух полученных равенств ($\angle FAE = \angle FEA$ и $\angle BAE = \angle FEA$) следует, что $\angle FAE = \angle BAE$.

4. Из рисунка видно, что точка $F$ лежит на стороне $AC$. Следовательно, угол $\angle FAE$ совпадает с углом $\angle CAE$. Таким образом, мы получаем, что $\angle CAE = \angle BAE$. Это по определению означает, что луч $AE$ является биссектрисой угла $BAC$.

5. Теперь рассмотрим $\triangle ABC$. По условию $AB = AC$, следовательно, $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $BC$.

6. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине, проведенная к основанию, является также и высотой. Поскольку $AE$ является биссектрисой угла $BAC$, она также является высотой, проведенной к основанию $BC$.

7. По определению высоты, $AE$ перпендикулярна $BC$, то есть $AE \perp BC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

386. Сравните стороны треугольника ABC, если:

1) $ \angle C > \angle A > \angle B; $

2) $ \angle B > \angle C, \angle A = \angle B. $