Номер 381, страница 111 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 15. Свойства параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 381, страница 111.

381. Через вершину B треугольника ABC (рис. 269) провели прямую MK, параллельную прямой AC, $ \angle MBA = 42^\circ $, $ \angle CBK = 56^\circ $. Найдите углы треугольника ABC.

Рис. 269

Дано:
Треугольник ABC.
Прямая MK проходит через вершину B.
MK || AC (прямая MK параллельна прямой AC).
$∠MBA = 42°$.
$∠CBK = 56°$.
Найти углы треугольника ABC: $∠A$, $∠B$, $∠C$.

Решение:

1. Угол A треугольника (∠BAC) и угол MBA являются внутренними накрест лежащими углами при параллельных прямых MK и AC и секущей AB. Согласно свойству параллельных прямых, такие углы равны.
Следовательно, $∠A = ∠MBA = 42°$.

2. Угол C треугольника (∠BCA) и угол CBK являются внутренними накрест лежащими углами при параллельных прямых MK и AC и секущей BC. Поэтому эти углы также равны.
Следовательно, $∠C = ∠CBK = 56°$.

3. Чтобы найти угол B треугольника (∠ABC), воспользуемся теоремой о сумме углов треугольника, которая гласит, что сумма всех углов в треугольнике равна $180°$.
$∠A + ∠B + ∠C = 180°$
Подставим уже известные значения углов A и C:
$42° + ∠B + 56° = 180°$
$∠B + 98° = 180°$
$∠B = 180° - 98°$
$∠B = 82°$

Проверка: Углы ∠MBA, ∠ABC и ∠CBK вместе образуют развернутый угол MK, который равен $180°$.
$∠MBA + ∠ABC + ∠CBK = 42° + 82° + 56° = 180°$.
Расчеты верны.

Ответ: углы треугольника ABC равны $∠A = 42°$, $∠B = 82°$, $∠C = 56°$.

381. Один из внешних углов треугольника равен $154^\circ$. Найдите углы треугольника, не смежные с ним, если один из этих углов на $28^\circ$ больше другого.