Номер 375, страница 110 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 15. Свойства параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 375, страница 110.

375. Ответьте на вопросы.

1) Могут ли оба односторонних угла при двух параллельных прямых и секущей быть тупыми?

2) Может ли сумма накрест лежащих углов при двух параллельных прямых и секущей быть равной $180^\circ$?

3) Могут ли быть равными односторонние углы при двух параллельных прямых и секущей?

1) Могут ли оба односторонних угла при двух параллельных прямых и секущей быть тупыми?

Нет, не могут. По свойству параллельных прямых, сумма односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, всегда равна $180^\circ$. Обозначим эти углы как $\angle \alpha$ и $\angle \beta$. Таким образом, $\angle \alpha + \angle \beta = 180^\circ$.

Тупой угол – это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$. Если предположить, что оба угла тупые, то $\angle \alpha > 90^\circ$ и $\angle \beta > 90^\circ$. Тогда их сумма будет $\angle \alpha + \angle \beta > 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Это противоречит свойству параллельных прямых, согласно которому их сумма должна быть ровно $180^\circ$. Следовательно, оба односторонних угла не могут быть тупыми. Один из них будет тупым, а другой острым (или оба будут прямыми).

Ответ: нет.

2) Может ли сумма накрест лежащих углов при двух параллельных прямых и секущей быть равной 180°?

Да, может. По свойству параллельных прямых, накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны между собой. Обозначим эти углы как $\angle \gamma$ и $\angle \delta$. Таким образом, $\angle \gamma = \angle \delta$.

По условию задачи, их сумма должна быть равна $180^\circ$: $\angle \gamma + \angle \delta = 180^\circ$. Так как углы равны, мы можем заменить $\angle \delta$ на $\angle \gamma$: $\angle \gamma + \angle \gamma = 180^\circ$, или $2 \cdot \angle \gamma = 180^\circ$. Отсюда следует, что $\angle \gamma = 90^\circ$. Соответственно, и $\angle \delta = 90^\circ$.

Такая ситуация возникает, когда секущая перпендикулярна параллельным прямым. В этом случае все образующиеся углы равны $90^\circ$, и сумма любых двух из них (включая накрест лежащие) будет равна $180^\circ$.

Ответ: да, может.

3) Могут ли быть равными односторонние углы при двух параллельных прямых и секущей?

Да, могут. Сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна $180^\circ$. Обозначим эти углы как $\angle \alpha$ и $\angle \beta$. Тогда $\angle \alpha + \angle \beta = 180^\circ$.

Если предположить, что эти углы равны, то есть $\angle \alpha = \angle \beta$, то мы можем подставить это в формулу суммы: $\angle \alpha + \angle \alpha = 180^\circ$, или $2 \cdot \angle \alpha = 180^\circ$. Решив это уравнение, получаем $\angle \alpha = 90^\circ$. Так как $\angle \alpha = \angle \beta$, то и $\angle \beta = 90^\circ$.

Это возможно в том случае, когда секущая перпендикулярна параллельным прямым. Тогда все односторонние углы будут прямыми и, следовательно, равными друг другу.

Ответ: да, могут.

375. На рисунке 250 укажите внешние углы:

1) при вершинах $E$ и $F$ треугольника $\triangle MEF$;

2) при вершине $E$ треугольника $\triangle MKE$.

Рис. 250