Номер 372, страница 110 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 15. Свойства параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 372, страница 110.

372. На рисунке 266 $m \parallel n, p \parallel k$, $\angle 1 = 50^\circ$. Найдите $\angle 2, \angle 3$ и $\angle 4$.

Для решения задачи воспользуемся свойствами углов, которые образуются при пересечении параллельных прямых секущей. По условию нам дано, что прямые $m$ и $n$ параллельны ($m \parallel n$), прямые $p$ и $k$ параллельны ($p \parallel k$), и $ \angle 1 = 50^\circ $.

Поскольку точное расположение углов на рисунке 266 неизвестно, будем исходить из наиболее стандартной для таких задач конфигурации углов, где они связаны между собой как соответственные, внутренние односторонние или накрест лежащие.

∠2

Рассмотрим параллельные прямые $p$ и $k$, пересеченные секущей $m$. Предположим, что углы $ \angle 1 $ и $ \angle 2 $ являются соответственными. При пересечении параллельных прямых секущей соответственные углы равны.

$ \angle 2 = \angle 1 $

Так как $ \angle 1 = 50^\circ $, то $ \angle 2 = 50^\circ $.

Ответ: $ \angle 2 = 50^\circ $.

∠3

Рассмотрим параллельные прямые $m$ и $n$, пересеченные секущей $p$. Предположим, что углы $ \angle 1 $ и $ \angle 3 $ являются внутренними односторонними. Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна $ 180^\circ $.

$ \angle 1 + \angle 3 = 180^\circ $

Подставим известное значение $ \angle 1 $:

$ 50^\circ + \angle 3 = 180^\circ $

$ \angle 3 = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ $.

Ответ: $ \angle 3 = 130^\circ $.

∠4

Рассмотрим параллельные прямые $m$ и $n$, пересеченные секущей $k$. В рамках наших предположений, углы $ \angle 2 $ и $ \angle 4 $ являются внутренними односторонними. Следовательно, их сумма равна $ 180^\circ $.

$ \angle 2 + \angle 4 = 180^\circ $

Мы уже нашли, что $ \angle 2 = 50^\circ $, поэтому можем подставить это значение в формулу:

$ 50^\circ + \angle 4 = 180^\circ $

$ \angle 4 = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ $.

Для проверки можно также рассмотреть параллельные прямые $p$ и $k$ и секущую $n$. При принятой нами конфигурации углы $ \angle 3 $ и $ \angle 4 $ являются соответственными, а значит, должны быть равны. Наши вычисления $ \angle 3 = 130^\circ $ и $ \angle 4 = 130^\circ $ подтверждают это.

Ответ: $ \angle 4 = 130^\circ $.

372. В равнобедренном треугольнике $\triangle ABC$ с углом при вершине $\angle B$, равным $36^\circ$, провели биссектрису $AD$. Докажите, что треугольники $\triangle ADB$ и $\triangle CAD$ – равнобедренные.