Страница 110 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

366. На рисунке 262 найдите угол 1.

Рис. 262

На рисунке изображены линии: $a$, $b$, $c$, $d$.

Углы на рисунке: $64^\circ$, $108^\circ$, $116^\circ$, $1$.

Для того чтобы найти угол 1, необходимо сначала определить, являются ли прямые $a$ и $b$ параллельными.

1. Доказательство параллельности прямых a и b.

Рассмотрим прямые $a$ и $b$ и секущую $c$. Углы, равные $116^\circ$ и $64^\circ$, являются внутренними односторонними углами. Согласно признаку параллельности прямых, если сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны.

Проверим сумму этих углов:
$116^\circ + 64^\circ = 180^\circ$

Так как сумма углов равна $180^\circ$, то прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$).

2. Нахождение угла 1.

Теперь рассмотрим параллельные прямые $a$ и $b$ и секущую $d$. Угол, равный $108^\circ$, и искомый $\angle 1$ также являются внутренними односторонними углами. По свойству параллельных прямых, сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$.

Составим уравнение:
$108^\circ + \angle 1 = 180^\circ$

Найдем $\angle 1$:
$\angle 1 = 180^\circ - 108^\circ$
$\angle 1 = 72^\circ$

Ответ: $72^\circ$.

366. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из них равен:

Сколько решений имеет задача?

367. На рисунке 263 найдите угол 2.

Рис. 263

$100^{\circ}$

$94^{\circ}$

$100^{\circ}$

$2$

1. Определим параллельность прямых m и n.
Рассмотрим прямые m и n, которые пересекает секущая p. При этом пересечении образуются два соответственных угла, каждый из которых равен $100°$. Согласно признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то эти прямые параллельны. Так как $100° = 100°$, то делаем вывод, что прямая m параллельна прямой n ($m \parallel n$).

2. Найдем угол 2.
Теперь рассмотрим параллельные прямые m и n ($m \parallel n$) и секущую k. Угол, равный $94°$, и искомый угол 2 являются внутренними односторонними углами. По свойству параллельных прямых, сумма внутренних односторонних углов равна $180°$.
Составим и решим уравнение:
$\angle 2 + 94° = 180°$
$\angle 2 = 180° - 94°$
$\angle 2 = 86°$

Ответ: $86°$

367. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из них ра- вен:

1) $42^\circ$;

2) $94^\circ$.

Сколько решений имеет задача?

368. На рисунке 264 $ \angle 1 = \angle 2 $, $ a \perp n $. Докажите, что $ b \perp n $.

Рис. 264

1. Рассмотрим прямые a и b и секущую m. Углы $\angle 1$ и $\angle 2$ являются соответственными углами, образованными при пересечении этих прямых секущей.

2. По условию задачи $\angle 1 = \angle 2$. Согласно признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, $a \parallel b$.

3. Также по условию задачи дано, что прямая a перпендикулярна прямой n ($a \perp n$).

4. Применим свойство параллельных прямых: если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

5. Так как мы установили, что $a \parallel b$, и нам дано, что $a \perp n$, то из этого следует, что прямая b также перпендикулярна прямой n, то есть $b \perp n$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение о том, что $b \perp n$, доказано.

368. Могут ли стороны треугольника быть равными:

1) 6 см, 5 см, 12 см;

2) 6 см, 5 см, 11 см?

369. На рисунке 265 $a \perp c$, $b \perp c$. Докажите, что $\angle 1 = \angle 2$.

Рис. 265

Шаг 1: Доказательство параллельности прямых a и b

По условию задачи дано, что прямая a перпендикулярна прямой c ($a \perp c$), и прямая b также перпендикулярна прямой c ($b \perp c$).
В евклидовой геометрии существует теорема: если две прямые на плоскости перпендикулярны одной и той же третьей прямой, то они параллельны между собой.
На основании этой теоремы мы можем заключить, что прямая a параллельна прямой b: $a \parallel b$.

Шаг 2: Доказательство равенства углов $∠1$ и $∠2$

Теперь, когда мы установили, что прямые a и b параллельны, рассмотрим прямую m как секущую, пересекающую эти параллельные прямые.
Введем вспомогательный угол $∠3$, который является соответственным углу $∠1$ при пересечении секущей m и прямой b. Согласно свойству параллельных прямых, соответственные углы равны. Следовательно, $∠1 = ∠3$.
Далее рассмотрим углы $∠2$ и $∠3$. Они образованы при пересечении прямых b и m и являются вертикальными углами. По свойству вертикальных углов, они равны: $∠2 = ∠3$.
Таким образом, мы получили два равенства: $∠1 = ∠3$ и $∠2 = ∠3$.
Поскольку оба угла, $∠1$ и $∠2$, равны одному и тому же углу $∠3$, они должны быть равны и между собой. Отсюда следует, что $∠1 = ∠2$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $∠1 = ∠2$ доказано.

369. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C = 90^\circ$, $AK$ – биссектриса, $\angle BAK = 18^\circ$. Найдите углы $AKC$ и $ABC$.

370. Разность односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, равна $50^\circ$. Найдите эти углы.

Пусть даны две параллельные прямые и секущая. Односторонние углы, образованные при их пересечении, обозначим как $\alpha$ и $\beta$.

Согласно свойству односторонних углов при параллельных прямых и секущей, их сумма составляет $180^\circ$. Это дает нам первое уравнение:
$\alpha + \beta = 180^\circ$

Из условия задачи известно, что разность этих углов равна $50^\circ$. Предположим, что $\alpha$ — это больший угол, а $\beta$ — меньший. Тогда второе уравнение будет:
$\alpha - \beta = 50^\circ$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \alpha - \beta = 50^\circ \end{cases}$

Для решения системы сложим оба уравнения почленно:
$(\alpha + \beta) + (\alpha - \beta) = 180^\circ + 50^\circ$
$2\alpha = 230^\circ$
$\alpha = \frac{230^\circ}{2}$
$\alpha = 115^\circ$

Теперь, зная значение $\alpha$, найдем $\beta$, подставив его в первое уравнение системы:
$115^\circ + \beta = 180^\circ$
$\beta = 180^\circ - 115^\circ$
$\beta = 65^\circ$

Проверим: разность углов $115^\circ - 65^\circ = 50^\circ$, сумма углов $115^\circ + 65^\circ = 180^\circ$. Условия задачи выполнены.

Ответ: $115^\circ$ и $65^\circ$.

370. В треугольнике ABC известно, что $AB = BC$, $CK$ – биссектриса, $\angle A = 66^{\circ}$. Найдите $\angle AKC$.

371. Один из односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, в 4 раза больше другого. Найдите эти углы.

Пусть даны две параллельные прямые и секущая. Обозначим односторонние углы, образованные при их пересечении, как $\angle 1$ и $\angle 2$.

По свойству углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, сумма односторонних углов равна $180^\circ$.

$\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$

По условию задачи, один из углов в 4 раза больше другого. Пусть $\angle 1$ будет большим углом, а $\angle 2$ — меньшим. Тогда их соотношение можно записать как:

$\angle 1 = 4 \cdot \angle 2$

Теперь мы можем подставить это выражение в первое уравнение:

$4 \cdot \angle 2 + \angle 2 = 180^\circ$

Решим полученное уравнение:

$5 \cdot \angle 2 = 180^\circ$

$\angle 2 = \frac{180^\circ}{5}$

$\angle 2 = 36^\circ$

Мы нашли меньший угол. Теперь найдем больший угол, используя соотношение $\angle 1 = 4 \cdot \angle 2$:

$\angle 1 = 4 \cdot 36^\circ$

$\angle 1 = 144^\circ$

Таким образом, мы нашли оба угла.

Ответ: искомые углы равны $36^\circ$ и $144^\circ$.

371. Биссектрисы $AK$ и $CM$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$, $\angle BAC = 116^\circ$, $\angle BCA = 34^\circ$. Найдите $\angle AOC$.

372. На рисунке 266 $m \parallel n, p \parallel k$, $\angle 1 = 50^\circ$. Найдите $\angle 2, \angle 3$ и $\angle 4$.

Для решения задачи воспользуемся свойствами углов, которые образуются при пересечении параллельных прямых секущей. По условию нам дано, что прямые $m$ и $n$ параллельны ($m \parallel n$), прямые $p$ и $k$ параллельны ($p \parallel k$), и $ \angle 1 = 50^\circ $.

Поскольку точное расположение углов на рисунке 266 неизвестно, будем исходить из наиболее стандартной для таких задач конфигурации углов, где они связаны между собой как соответственные, внутренние односторонние или накрест лежащие.

∠2

Рассмотрим параллельные прямые $p$ и $k$, пересеченные секущей $m$. Предположим, что углы $ \angle 1 $ и $ \angle 2 $ являются соответственными. При пересечении параллельных прямых секущей соответственные углы равны.

$ \angle 2 = \angle 1 $

Так как $ \angle 1 = 50^\circ $, то $ \angle 2 = 50^\circ $.

Ответ: $ \angle 2 = 50^\circ $.

∠3

Рассмотрим параллельные прямые $m$ и $n$, пересеченные секущей $p$. Предположим, что углы $ \angle 1 $ и $ \angle 3 $ являются внутренними односторонними. Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна $ 180^\circ $.

$ \angle 1 + \angle 3 = 180^\circ $

Подставим известное значение $ \angle 1 $:

$ 50^\circ + \angle 3 = 180^\circ $

$ \angle 3 = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ $.

Ответ: $ \angle 3 = 130^\circ $.

∠4

Рассмотрим параллельные прямые $m$ и $n$, пересеченные секущей $k$. В рамках наших предположений, углы $ \angle 2 $ и $ \angle 4 $ являются внутренними односторонними. Следовательно, их сумма равна $ 180^\circ $.

$ \angle 2 + \angle 4 = 180^\circ $

Мы уже нашли, что $ \angle 2 = 50^\circ $, поэтому можем подставить это значение в формулу:

$ 50^\circ + \angle 4 = 180^\circ $

$ \angle 4 = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ $.

Для проверки можно также рассмотреть параллельные прямые $p$ и $k$ и секущую $n$. При принятой нами конфигурации углы $ \angle 3 $ и $ \angle 4 $ являются соответственными, а значит, должны быть равны. Наши вычисления $ \angle 3 = 130^\circ $ и $ \angle 4 = 130^\circ $ подтверждают это.

Ответ: $ \angle 4 = 130^\circ $.

372. В равнобедренном треугольнике $\triangle ABC$ с углом при вершине $\angle B$, равным $36^\circ$, провели биссектрису $AD$. Докажите, что треугольники $\triangle ADB$ и $\triangle CAD$ – равнобедренные.

373. Прямая, параллельная основанию $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$, пересекает его боковые стороны $AB$ и $BC$ в точках $D$ и $F$ соответственно. Докажите, что треугольник $DBF$ равнобедренный.

По условию, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. Согласно свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны. Следовательно, $\angle BAC = \angle BCA$.

Также по условию, прямая $DF$ параллельна основанию $AC$ ($DF \parallel AC$). Рассмотрим параллельные прямые $DF$ и $AC$ и секущую $AB$. Углы $\angle BDF$ и $\angle BAC$ являются соответственными, поэтому они равны: $\angle BDF = \angle BAC$.

Теперь рассмотрим те же параллельные прямые $DF$ и $AC$, но с секущей $BC$. Углы $\angle BFD$ и $\angle BCA$ также являются соответственными, а значит, они тоже равны: $\angle BFD = \angle BCA$.

Мы получили следующую систему равенств:
1) $\angle BAC = \angle BCA$ (как углы при основании равнобедренного треугольника)
2) $\angle BDF = \angle BAC$ (как соответственные углы)
3) $\angle BFD = \angle BCA$ (как соответственные углы)
Из этих равенств следует, что $\angle BDF = \angle BFD$.

В треугольнике $DBF$ два угла ($\angle BDF$ и $\angle BFD$) равны. По признаку равнобедренного треугольника, если два угла треугольника равны, то этот треугольник является равнобедренным. Стороны $DB$ и $FB$, лежащие напротив равных углов, являются равными боковыми сторонами.

Ответ: Треугольник $DBF$ является равнобедренным, что и требовалось доказать.

373. В треугольнике $ABC$ провели биссектрису $BF$. Найдите угол $C$, если $\angle A = 39^\circ$, $\angle AFB = 78^\circ$.

374. На продолжениях сторон $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ ($AB = BC$) за точки $A$ и $B$ отметили соответственно точки $P$ и $K$ так, что $PK \parallel AB$. Докажите, что треугольник $KPC$ равнобедренный.

Для доказательства того, что треугольник $KPC$ является равнобедренным, необходимо установить равенство двух его сторон или двух углов. В данном решении мы докажем равенство углов $\angle KPC$ и $\angle PKC$.

Сначала установим связь между углами треугольников $ABC$ и $KPC$.

По условию задачи, прямая $PK$ параллельна стороне $AB$ ($PK \parallel AB$). Рассмотрим прямую $PC$ (которая содержит сторону $AC$) в качестве секущей. Углы $\angle KPC$ и $\angle BAC$ являются соответственными углами при параллельных прямых $PK$ и $AB$ и секущей $PC$. Следовательно, они равны:
$\angle KPC = \angle BAC$.

Аналогично, рассмотрим прямую $KC$ (которая содержит сторону $BC$) в качестве секущей. Углы $\angle PKC$ и $\angle ABC$ также являются соответственными, а значит, они тоже равны:
$\angle PKC = \angle ABC$.

Таким образом, чтобы доказать, что треугольник $KPC$ равнобедренный (т.е. $\angle KPC = \angle PKC$), нам необходимо доказать, что в треугольнике $ABC$ выполняется равенство $\angle BAC = \angle ABC$.

Теперь проанализируем условие, данное в задаче: треугольник $ABC$ является равнобедренным, и $AB = BC$. В треугольнике углы, лежащие напротив равных сторон, равны. Напротив стороны $BC$ лежит угол $\angle BAC$, а напротив стороны $AB$ лежит угол $\angle BCA$. Следовательно, из условия $AB = BC$ вытекает, что $\angle BAC = \angle BCA$.

Для того чтобы утверждение задачи было верным, необходимо, чтобы $\angle BAC = \angle ABC$ (как мы показали выше), но из условия следует $\angle BAC = \angle BCA$. Это означает, что должно выполняться равенство $\angle ABC = \angle BCA$, что, в свою очередь, означает равенство сторон $AC = AB$.

Сопоставив данное условие ($AB = BC$) и требуемое ($AC = AB$), мы приходим к выводу, что все три стороны треугольника должны быть равны: $AB = BC = AC$. Это означает, что исходный треугольник $ABC$ должен быть равносторонним.

Таким образом, утверждение задачи в его исходной формулировке справедливо только для частного случая, когда $\triangle ABC$ является равносторонним. Вероятно, в условии задачи допущена неточность, и имелось в виду, что треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB$ (т.е. $AC = BC$). При таком предположении доказательство выглядит следующим образом:

1. Пусть в $\triangle ABC$ стороны $AC=BC$. Тогда углы при основании $AB$ равны: $\angle BAC = \angle ABC$.
2. Так как $PK \parallel AB$, то, как показано ранее, $\angle KPC = \angle BAC$ и $\angle PKC = \angle ABC$.
3. Из этих двух пунктов следует, что $\angle KPC = \angle PKC$.
4. В треугольнике $KPC$ два угла равны, следовательно, по признаку равнобедренного треугольника, он является равнобедренным.

Ответ: Утверждение задачи в её исходной формулировке ($AB=BC$) справедливо только в том случае, если треугольник $ABC$ является равносторонним. Если предположить, что в условии имеется опечатка и имелось в виду, что треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB$ ($AC=BC$), то утверждение верно. Доказательство в этом случае основывается на том, что равенство углов при основании $\angle BAC = \angle ABC$ влечет за собой равенство соответственных им углов $\angle KPC$ и $\angle PKC$ (в силу параллельности $PK$ и $AB$), что и доказывает равнобедренность треугольника $KPC$.

374. Докажите, что если один из углов треугольника равен сумме двух других углов, то этот треугольник – прямоугольный.

375. Ответьте на вопросы.

1) Могут ли оба односторонних угла при двух параллельных прямых и секущей быть тупыми?

2) Может ли сумма накрест лежащих углов при двух параллельных прямых и секущей быть равной $180^\circ$?

3) Могут ли быть равными односторонние углы при двух параллельных прямых и секущей?

1) Могут ли оба односторонних угла при двух параллельных прямых и секущей быть тупыми?

Нет, не могут. По свойству параллельных прямых, сумма односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, всегда равна $180^\circ$. Обозначим эти углы как $\angle \alpha$ и $\angle \beta$. Таким образом, $\angle \alpha + \angle \beta = 180^\circ$.

Тупой угол – это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$. Если предположить, что оба угла тупые, то $\angle \alpha > 90^\circ$ и $\angle \beta > 90^\circ$. Тогда их сумма будет $\angle \alpha + \angle \beta > 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Это противоречит свойству параллельных прямых, согласно которому их сумма должна быть ровно $180^\circ$. Следовательно, оба односторонних угла не могут быть тупыми. Один из них будет тупым, а другой острым (или оба будут прямыми).

Ответ: нет.

2) Может ли сумма накрест лежащих углов при двух параллельных прямых и секущей быть равной 180°?

Да, может. По свойству параллельных прямых, накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны между собой. Обозначим эти углы как $\angle \gamma$ и $\angle \delta$. Таким образом, $\angle \gamma = \angle \delta$.

По условию задачи, их сумма должна быть равна $180^\circ$: $\angle \gamma + \angle \delta = 180^\circ$. Так как углы равны, мы можем заменить $\angle \delta$ на $\angle \gamma$: $\angle \gamma + \angle \gamma = 180^\circ$, или $2 \cdot \angle \gamma = 180^\circ$. Отсюда следует, что $\angle \gamma = 90^\circ$. Соответственно, и $\angle \delta = 90^\circ$.

Такая ситуация возникает, когда секущая перпендикулярна параллельным прямым. В этом случае все образующиеся углы равны $90^\circ$, и сумма любых двух из них (включая накрест лежащие) будет равна $180^\circ$.

Ответ: да, может.

3) Могут ли быть равными односторонние углы при двух параллельных прямых и секущей?

Да, могут. Сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна $180^\circ$. Обозначим эти углы как $\angle \alpha$ и $\angle \beta$. Тогда $\angle \alpha + \angle \beta = 180^\circ$.

Если предположить, что эти углы равны, то есть $\angle \alpha = \angle \beta$, то мы можем подставить это в формулу суммы: $\angle \alpha + \angle \alpha = 180^\circ$, или $2 \cdot \angle \alpha = 180^\circ$. Решив это уравнение, получаем $\angle \alpha = 90^\circ$. Так как $\angle \alpha = \angle \beta$, то и $\angle \beta = 90^\circ$.

Это возможно в том случае, когда секущая перпендикулярна параллельным прямым. Тогда все односторонние углы будут прямыми и, следовательно, равными друг другу.

Ответ: да, могут.

375. На рисунке 250 укажите внешние углы:

1) при вершинах $E$ и $F$ треугольника $\triangle MEF$;

2) при вершине $E$ треугольника $\triangle MKE$.

Рис. 250