Номер 374, страница 110 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 15. Свойства параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 374, страница 110.

374. На продолжениях сторон $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ ($AB = BC$) за точки $A$ и $B$ отметили соответственно точки $P$ и $K$ так, что $PK \parallel AB$. Докажите, что треугольник $KPC$ равнобедренный.

Для доказательства того, что треугольник $KPC$ является равнобедренным, необходимо установить равенство двух его сторон или двух углов. В данном решении мы докажем равенство углов $\angle KPC$ и $\angle PKC$.

Сначала установим связь между углами треугольников $ABC$ и $KPC$.

По условию задачи, прямая $PK$ параллельна стороне $AB$ ($PK \parallel AB$). Рассмотрим прямую $PC$ (которая содержит сторону $AC$) в качестве секущей. Углы $\angle KPC$ и $\angle BAC$ являются соответственными углами при параллельных прямых $PK$ и $AB$ и секущей $PC$. Следовательно, они равны:
$\angle KPC = \angle BAC$.

Аналогично, рассмотрим прямую $KC$ (которая содержит сторону $BC$) в качестве секущей. Углы $\angle PKC$ и $\angle ABC$ также являются соответственными, а значит, они тоже равны:
$\angle PKC = \angle ABC$.

Таким образом, чтобы доказать, что треугольник $KPC$ равнобедренный (т.е. $\angle KPC = \angle PKC$), нам необходимо доказать, что в треугольнике $ABC$ выполняется равенство $\angle BAC = \angle ABC$.

Теперь проанализируем условие, данное в задаче: треугольник $ABC$ является равнобедренным, и $AB = BC$. В треугольнике углы, лежащие напротив равных сторон, равны. Напротив стороны $BC$ лежит угол $\angle BAC$, а напротив стороны $AB$ лежит угол $\angle BCA$. Следовательно, из условия $AB = BC$ вытекает, что $\angle BAC = \angle BCA$.

Для того чтобы утверждение задачи было верным, необходимо, чтобы $\angle BAC = \angle ABC$ (как мы показали выше), но из условия следует $\angle BAC = \angle BCA$. Это означает, что должно выполняться равенство $\angle ABC = \angle BCA$, что, в свою очередь, означает равенство сторон $AC = AB$.

Сопоставив данное условие ($AB = BC$) и требуемое ($AC = AB$), мы приходим к выводу, что все три стороны треугольника должны быть равны: $AB = BC = AC$. Это означает, что исходный треугольник $ABC$ должен быть равносторонним.

Таким образом, утверждение задачи в его исходной формулировке справедливо только для частного случая, когда $\triangle ABC$ является равносторонним. Вероятно, в условии задачи допущена неточность, и имелось в виду, что треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB$ (т.е. $AC = BC$). При таком предположении доказательство выглядит следующим образом:

1. Пусть в $\triangle ABC$ стороны $AC=BC$. Тогда углы при основании $AB$ равны: $\angle BAC = \angle ABC$.
2. Так как $PK \parallel AB$, то, как показано ранее, $\angle KPC = \angle BAC$ и $\angle PKC = \angle ABC$.
3. Из этих двух пунктов следует, что $\angle KPC = \angle PKC$.
4. В треугольнике $KPC$ два угла равны, следовательно, по признаку равнобедренного треугольника, он является равнобедренным.

Ответ: Утверждение задачи в её исходной формулировке ($AB=BC$) справедливо только в том случае, если треугольник $ABC$ является равносторонним. Если предположить, что в условии имеется опечатка и имелось в виду, что треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB$ ($AC=BC$), то утверждение верно. Доказательство в этом случае основывается на том, что равенство углов при основании $\angle BAC = \angle ABC$ влечет за собой равенство соответственных им углов $\angle KPC$ и $\angle PKC$ (в силу параллельности $PK$ и $AB$), что и доказывает равнобедренность треугольника $KPC$.

374. Докажите, что если один из углов треугольника равен сумме двух других углов, то этот треугольник – прямоугольный.