Номер 379, страница 111 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 15. Свойства параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 379, страница 111.

379. На рисунке 267 $BC = AD, BC \parallel AD$. Докажите, что $AB \parallel CD$.

Рис. 267

Для доказательства проведем в четырехугольнике $ABCD$ диагональ $AC$. Эта диагональ разделяет четырехугольник на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

По условию задачи дано, что $BC \parallel AD$. Прямая $AC$ является секущей для этих параллельных прямых. Углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ являются внутренними накрест лежащими углами. По свойству параллельных прямых, внутренние накрест лежащие углы равны, следовательно:

$\angle BCA = \angle CAD$

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$. Сравним их элементы:
• Сторона $BC$ равна стороне $AD$ ($BC = AD$) по условию задачи.
• Угол $\angle BCA$ равен углу $\angle CAD$ ($\angle BCA = \angle CAD$), как было показано выше.
• Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.
Таким образом, $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны углы $\angle BAC$ и $\angle DCA$:

$\angle BAC = \angle DCA$

Данные углы ($\angle BAC$ и $\angle DCA$) являются внутренними накрест лежащими при пересечении прямых $AB$ и $CD$ секущей $AC$. Поскольку мы доказали, что эти углы равны, то по признаку параллельности прямых (если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны) можно сделать вывод, что прямые $AB$ и $CD$ параллельны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $AB \parallel CD$.

379. Определите вид треугольника, если один из его внешних углов равен смежному с ним углу треугольника.