Номер 392, страница 113 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 15. Свойства параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 392, страница 113.

392. Биссектрисы углов $BAC$ и $BCA$ треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$. Через эту точку проведены прямые, параллельные прямым $AB$ и $BC$ и пересекающие сторону $AC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Докажите, что периметр треугольника $MOK$ равен длине стороны $AC$.

Доказательство:

Пусть в треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AO$ и $CO$ углов $\angle BAC$ и $\angle BCA$ соответственно. Через точку их пересечения $O$ проведена прямая, параллельная стороне $AB$, которая пересекает сторону $AC$ в точке $M$. Также через точку $O$ проведена прямая, параллельная стороне $BC$, которая пересекает сторону $AC$ в точке $K$. Таким образом, мы имеем $OM \parallel AB$ и $OK \parallel BC$.

Рассмотрим параллельные прямые $OM$ и $AB$ и секущую $AO$. Углы $\angle BAO$ и $\angle MOA$ являются накрест лежащими, а значит, они равны: $\angle BAO = \angle MOA$. Поскольку $AO$ является биссектрисой угла $\angle BAC$, она делит этот угол пополам: $\angle BAO = \angle OAM$. Из двух этих равенств следует, что $\angle MOA = \angle OAM$. В треугольнике $AMO$ два угла равны, следовательно, этот треугольник является равнобедренным с основанием $AO$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны, поэтому $AM = MO$.

Аналогично рассмотрим параллельные прямые $OK$ и $BC$ и секущую $CO$. Углы $\angle BCO$ и $\angle KOC$ являются накрест лежащими, поэтому $\angle BCO = \angle KOC$. Поскольку $CO$ является биссектрисой угла $\angle BCA$, то $\angle BCO = \angle OCK$. Следовательно, $\angle KOC = \angle OCK$. Таким образом, треугольник $CKO$ также является равнобедренным с основанием $CO$. Отсюда следует равенство сторон: $KC = OK$.

Периметр треугольника $MOK$ равен сумме длин его сторон: $P_{\triangle MOK} = MO + OK + MK$. Используя доказанные выше равенства ($MO = AM$ и $OK = KC$), мы можем подставить их в формулу периметра: $P_{\triangle MOK} = AM + KC + MK$.

Точки $M$ и $K$ лежат на стороне $AC$, поэтому длина стороны $AC$ может быть представлена как сумма длин отрезков: $AC = AM + MK + KC$. Сравнивая выражение для периметра треугольника $MOK$ с выражением для длины стороны $AC$, мы видим, что они идентичны: $P_{\triangle MOK} = AM + MK + KC = AC$.

Таким образом, доказано, что периметр треугольника $MOK$ равен длине стороны $AC$.

Ответ: Периметр треугольника $MOK$ равен длине стороны $AC$, что и требовалось доказать.

392. Существует ли треугольник, одна из сторон которого на 2 см меньше второй и на 6 см меньше третьей, а периметр равен 20 см?