Номер 3, страница 115 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 16. Сумма углов треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 3, страница 115.

3. Какой угол называют внешним углом треугольника?

Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с внутренним углом треугольника при этой вершине. Чтобы его построить, нужно продлить одну из сторон треугольника за эту вершину.

Например, рассмотрим треугольник $ABC$. Если продлить сторону $AC$ за вершину $C$ до точки $D$, то угол $BCD$ будет являться внешним углом треугольника $ABC$ при вершине $C$. Этот угол смежен с внутренним углом $ACB$.

Основное свойство внешнего угла: внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Для треугольника на рисунке это свойство можно записать в виде формулы:
$∠BCD = ∠BAC + ∠ABC$

Это свойство легко доказать. Сумма углов в любом треугольнике равна $180°$:
$∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°$
Сумма смежных углов (внутреннего $∠ACB$ и внешнего $∠BCD$) также равна $180°$:
$∠ACB + ∠BCD = 180°$
Приравнивая левые части этих равенств, получаем:
$∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = ∠ACB + ∠BCD$
Вычитая $∠ACB$ из обеих частей, получаем требуемое равенство:
$∠BAC + ∠ABC = ∠BCD$

У каждой вершины треугольника можно построить два внешних угла (продлевая одну или другую сторону, образующую вершину). Эти два угла равны, так как являются вертикальными.

Ответ: Внешним углом треугольника называют угол, который является смежным с одним из внутренних углов этого треугольника.

3. Какой угол называют внешним углом треугольника?