Номер 399, страница 116 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 16. Сумма углов треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 399, страница 116.

399. Найдите неизвестные углы треугольника ABC, изображённого на рисунке 278.

Рис. 278

$50^{\circ}$

$60^{\circ}$

Для решения задачи необходимо найти два неизвестных угла треугольника $ABC$: угол при вершине C ($\angle ACB$) и угол при вершине B ($\angle ABC$). Из рисунка нам даны угол при вершине A, $\angle BAC = 50^\circ$, и внешний угол при вершине C, равный $60^\circ$.

1. Найдём угол $\angle ACB$.

Внутренний угол треугольника $\angle ACB$ и смежный с ним внешний угол ($60^\circ$) вместе образуют развернутый угол, сумма которого равна $180^\circ$.

Следовательно, мы можем записать уравнение:

$\angle ACB + 60^\circ = 180^\circ$

Выразим из него $\angle ACB$:

$\angle ACB = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

2. Найдём угол $\angle ABC$.

Теперь, когда мы знаем два внутренних угла треугольника ($\angle BAC = 50^\circ$ и $\angle ACB = 120^\circ$), мы можем найти третий угол, используя теорему о сумме углов треугольника. Сумма всех внутренних углов треугольника всегда равна $180^\circ$.

$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$

Подставим известные значения в формулу:

$50^\circ + \angle ABC + 120^\circ = 180^\circ$

Сложим известные углы:

$170^\circ + \angle ABC = 180^\circ$

Теперь найдём $\angle ABC$:

$\angle ABC = 180^\circ - 170^\circ = 10^\circ$

Замечание: Угол $\angle ABC$ можно было также найти, используя свойство внешнего угла треугольника, который равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. То есть, внешний угол при вершине C равен сумме углов A и B: $60^\circ = 50^\circ + \angle ABC$, откуда $\angle ABC = 60^\circ - 50^\circ = 10^\circ$.

Ответ: неизвестные углы треугольника $ABC$ равны $\angle ACB = 120^\circ$ и $\angle ABC = 10^\circ$.

399. Через вершину C треугольника ABC проведена прямая, параллельная биссектрисе AM треугольника и пересекающая прямую AB в точке K. Найдите углы треугольника AKC, если $\angle BAC = 70^\circ$.