Номер 395, страница 113 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 15. Свойства параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 395, страница 113.

395. В треугольнике $MOE$ на стороне $MO$ отметили точку $A$, в треугольнике $TPK$ на стороне $TP$ – точку $B$ так, что $MA = TB$. Какова градусная мера угла $BKP$, если $MO = TP$, $\angle M = \angle T$, $\angle O = \angle P$, $\angle AEO = 17^\circ$?

Рис. 274

Рассмотрим треугольники $ \triangle MOE $ и $ \triangle TPK $. По условию задачи нам дано, что сторона $ MO $ равна стороне $ TP $, а также прилежащие к ним углы равны: $ \angle M = \angle T $ и $ \angle O = \angle P $. Согласно второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $ \triangle MOE \cong \triangle TPK $.

Из равенства треугольников $ \triangle MOE $ и $ \triangle TPK $ следует равенство их соответствующих элементов. В частности, сторона $ OE $ равна стороне $ PK $, то есть $ OE = PK $.

Точка $ A $ лежит на стороне $ MO $, поэтому длина отрезка $ MO $ равна сумме длин отрезков $ MA $ и $ AO $: $ MO = MA + AO $. Аналогично, точка $ B $ лежит на стороне $ TP $, поэтому $ TP = TB + BP $. По условию $ MO = TP $ и $ MA = TB $. Запишем равенство длин сторон: $ MA + AO = TB + BP $. Так как $ MA = TB $, мы можем вычесть эти равные величины из обеих частей уравнения, что дает нам $ AO = BP $.

Теперь рассмотрим треугольники $ \triangle AOE $ и $ \triangle BPK $. Сравним их элементы. Мы уже доказали, что $ AO = BP $ и $ OE = PK $. По условию, угол $ \angle O $ равен углу $ \angle P $. В рассматриваемых треугольниках угол $ \angle O $ — это угол $ \angle AOE $, а угол $ \angle P $ — это угол $ \angle BPK $. Таким образом, в треугольниках $ \triangle AOE $ и $ \triangle BPK $ две стороны и угол между ними соответственно равны ($ AO = BP $, $ OE = PK $, $ \angle AOE = \angle BPK $).

Согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $ \triangle AOE \cong \triangle BPK $.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Углу $ \angle AEO $ в треугольнике $ \triangle AOE $ соответствует угол $ \angle BKP $ в треугольнике $ \triangle BPK $. Следовательно, $ \angle BKP = \angle AEO $.

Поскольку по условию $ \angle AEO = 17^\circ $, то и $ \angle BKP = 17^\circ $.

Ответ: $17^\circ$

395. Отрезок $BK$ – биссектриса равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $BC$, $\angle AKB = 105^\circ$. Найдите углы треугольника $ABC$.