Номер 394, страница 113 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 15. Свойства параллельных прямых. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 394, страница 113.

394. Отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, $AB = BC = CD = AD$.

Докажите, что $AC \perp BD$.

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. По условию задачи его стороны равны: $AB = BC = CD = AD$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Необходимо доказать, что диагонали перпендикулярны.

Доказательство можно провести, используя свойства равнобедренных треугольников.

1. Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. У них:
- Сторона $AB$ равна стороне $AD$ (по условию).
- Сторона $BC$ равна стороне $DC$ (по условию).
- Сторона $AC$ является общей.
Таким образом, $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

2. Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов. В частности, $\angle BAC = \angle DAC$.

3. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ABD$.
- Так как $AB = AD$ по условию, то треугольник $\triangle ABD$ является равнобедренным с основанием $BD$.
- Отрезок $AO$ (являющийся частью диагонали $AC$) — это биссектриса угла $\angle BAD$, поскольку из пункта 2 мы знаем, что $\angle BAO = \angle DAO$.

4. По свойству равнобедренного треугольника, биссектриса, проведенная из вершины к основанию, является также и высотой.
Следовательно, отрезок $AO$ является высотой в треугольнике $\triangle ABD$, проведенной к основанию $BD$.

5. Из определения высоты следует, что $AO \perp BD$. А так как отрезок $AO$ лежит на прямой $AC$, то и вся диагональ $AC$ перпендикулярна диагонали $BD$.

Ответ: Доказано, что $AC \perp BD$.

394. На рисунке 252 $BC \parallel AD$, $\angle A = 25^{\circ}$, $\angle B = 55^{\circ}$. Найдите $\angle CMD$.

Рис. 252