Номер 437, страница 118 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 16. Сумма углов треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 437, страница 118.

437. Отрезок $BK$ – биссектриса равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $BC$, $\angle AKB = 105^\circ$. Найдите углы треугольника $ABC$.

По условию задачи, треугольник ABC является равнобедренным с основанием BC. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle B = \angle C$.

Отрезок BK является биссектрисой угла B, это означает, что он делит угол B на два равных угла: $\angle ABK = \angle KBC$.

Пусть $\angle ABK = \angle KBC = x$. Тогда весь угол $\angle B = 2x$. Так как $\angle B = \angle C$, то $\angle C = 2x$ также.

Рассмотрим треугольник BKC. Угол $\angle AKB$ и угол $\angle BKC$ являются смежными, так как точки A, K, C лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

$\angle BKC = 180^\circ - \angle AKB = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника BKC имеем:

$\angle KBC + \angle C + \angle BKC = 180^\circ$

Подставим известные нам значения и выражения через $x$:

$x + 2x + 75^\circ = 180^\circ$

$3x = 180^\circ - 75^\circ$

$3x = 105^\circ$

$x = \frac{105^\circ}{3} = 35^\circ$

Теперь, когда мы нашли значение $x$, мы можем найти все углы треугольника ABC.

$\angle B = 2x = 2 \cdot 35^\circ = 70^\circ$.

$\angle C = \angle B = 70^\circ$.

Угол A найдем из суммы углов треугольника ABC:

$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$

$\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (70^\circ + 70^\circ) = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.

Ответ: углы треугольника ABC равны $40^\circ$, $70^\circ$ и $70^\circ$.

437. На сторонах угла с вершиной в точке $B$ отметили точки $A$ и $C$ так, что $AB = BC$. Через точки $A$ и $C$ провели прямые, перпендикулярные сторонам $BA$ и $BC$ соответственно, которые пересекаются в точке $O$. Докажите, что луч $BO$ – биссектриса угла $ABC$.