Номер 431, страница 118 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 16. Сумма углов треугольника. Глава 3. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника - номер 431, страница 118.

431. На сторонах треугольника ABC (рис. 284) отметили точки E и F так, что $∠1 = ∠2$. Докажите, что $∠3 = ∠4$.

Рис. 284

Доказательство:

Рассмотрим четырехугольник $AEFC$. По условию задачи дано, что $\angle 1 = \angle 2$, то есть $\angle EAC = \angle EFC$.

Углы $\angle EAC$ и $\angle EFC$ опираются на один и тот же отрезок $EC$. Поскольку вершины этих углов, точки $A$ и $F$, лежат по одну сторону от прямой $EC$, и величины углов равны, то по признаку вписанного четырехугольника, точки $A, E, F, C$ лежат на одной окружности. Таким образом, четырехугольник $AEFC$ является вписанным.

В вписанном четырехугольнике углы, которые опираются на одну и ту же дугу (или хорду), равны. Рассмотрим хорду $AF$. На эту хорду опираются вписанные углы $\angle ACF$ (угол $\angle 3$) и $\angle AEF$ (угол $\angle 4$).

Следовательно, $\angle ACF = \angle AEF$, а это означает, что $\angle 3 = \angle 4$.

Ответ: Равенство $\angle 3 = \angle 4$ доказано.

431. На рисунке 262 $AB \perp BC$, $CD \perp BC$, $AC = BD$. Докажите, что $AB = CD$.

Рис. 260 Рис. 261 Рис. 262